Elementarmathematik Beispiele

${(e^{\frac{2}{3}})}^{\ln (\sqrt{27})}$

Schritt 1

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

${(e^{\frac{2}{3}})}^{\ln (\sqrt{9 (3)})}$

Schritt 1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

${(e^{\frac{2}{3}})}^{\ln (\sqrt{3^{2} \cdot 3})}$

Schritt 2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

${(e^{\frac{2}{3}})}^{\ln (3 \sqrt{3})}$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{\frac{2}{3}})}^{\ln (3 \sqrt{3})}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{2}{3} \ln (3 \sqrt{3})}$

Schritt 3.2

Vereinfache $\frac{2}{3} \ln (3 \sqrt{3})$ , indem du $\frac{2}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$e^{\ln ({(3 \sqrt{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{3}$ an.

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 3.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$ als $\sqrt[3]{3}$ um.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} {(3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}})}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{2 \cdot 3}})}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{6}})}$

Schritt 3.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 3.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2 (1)}{6}})}$

Schritt 3.4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}})}$

Schritt 3.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}})}$

Schritt 3.4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 3.4.6

Schreibe $3^{\frac{1}{3}}$ als $\sqrt[3]{3}$ um.

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3})}$

Schritt 3.5

Multipliziere $3^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}$ .

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Schritt 3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 3.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}})}$

Schritt 3.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{\ln (3^{\frac{2 + 1}{3}})}$

Schritt 3.5.4

Addiere $2$ und $1$ .

$e^{\ln (3^{\frac{3}{3}})}$

Schritt 3.5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\ln (3^{\frac{3}{3}})}$

Schritt 3.5.5.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\ln (3^{1})}$

Schritt 3.6

Berechne den Exponenten.

$e^{\ln (3)}$

Schritt 4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$3$