Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{3} \cdot \log ({(x + 3)}^{2}) + \log (x^{2}) - \log (x^{2} - 2 x - 15)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \log ({(x + 3)}^{2}) + \log (\frac{x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15})$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\frac{1}{3} \log ({(x + 3)}^{2})$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$\log ({({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{3}}) + \log (\frac{x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15})$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log ({(x + 3)}^{2 (\frac{1}{3})}) + \log (\frac{x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15})$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\log ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + \log (\frac{x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15})$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 5, 3$

Schritt 2.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\log ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + \log (\frac{x^{2}}{(x - 5) (x + 3)})$

Schritt 3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{x^{2}}{(x - 5) (x + 3)})$

Schritt 4

Kombiniere ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ und $\frac{x^{2}}{(x - 5) (x + 3)}$ .

$\log (\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{2}}{(x - 5) (x + 3)})$

Schritt 5

Bringe ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) (x + 3) {(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}})$

Schritt 6

Multipliziere $x + 3$ mit ${(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Bewege ${(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) ({(x + 3)}^{- \frac{2}{3}} (x + 3))})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere ${(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ mit $x + 3$ .

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Schritt 6.2.1

Potenziere $x + 3$ mit $1$ .

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) ({(x + 3)}^{- \frac{2}{3}} {(x + 3)}^{1})})$

Schritt 6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{- \frac{2}{3} + 1}})$

Schritt 6.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}}})$

Schritt 6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{\frac{- 2 + 3}{3}}})$

Schritt 6.5

Addiere $- 2$ und $3$ .

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 7

Stelle die Faktoren in $\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}})$ um.

$\log (\frac{x^{2}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (x - 5)})$