Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{2} \cdot \ln (9) - 2 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (9)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (9^{\frac{1}{2}}) - 2 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Schritt 1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\ln ({(3^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Schritt 1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (3^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (3^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (3^{1}) - 2 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Schritt 1.5

Berechne den Exponenten.

$\ln (3) - 2 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Schritt 1.6

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (3) - 2 \ln ((x + 2) (x - 2))$

Schritt 1.7

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (3) - 2 \ln (x (x - 2) + 2 (x - 2))$

Schritt 1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (3) - 2 \ln (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2))$

Schritt 1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (3) - 2 \ln (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2)$

Schritt 1.8

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 1.8.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 2$ und $2 x$ neu an.

$\ln (3) - 2 \ln (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2)$

Schritt 1.8.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\ln (3) - 2 \ln (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2)$

Schritt 1.8.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\ln (3) - 2 \ln (x \cdot x + 2 \cdot - 2)$

Schritt 1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (3) - 2 \ln (x^{2} + 2 \cdot - 2)$

Schritt 1.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\ln (3) - 2 \ln (x^{2} - 4)$

Schritt 1.10

Vereinfache $- 2 \ln (x^{2} - 4)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (3) - \ln ({(x^{2} - 4)}^{2})$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{3}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\ln (\frac{3}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}})$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\ln (\frac{3}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}})$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $(x + 2) (x - 2)$ an.

$\ln (\frac{3}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}})$