Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} - 3 x + 5 y - 2 = 0$

Schritt 1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + y^{2} - 3 x + 5 y = 2$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 3 x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = \frac{- 3}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{3}{2}$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{9}{4}$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $\frac{9}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{9}{4}$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ ein.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Schritt 3

Setze ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ für $x^{2} - 3 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 3 x + 5 y = 2$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + y^{2} + 5 y = 2$

Schritt 4

Bringe $- \frac{9}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{9}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} + 5 y = 2 + \frac{9}{4}$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + 5 y$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 5$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{5}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = \frac{5}{2}$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $\frac{25}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ ein.

${(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Schritt 6

Setze ${(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ für $y^{2} + 5 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 3 x + 5 y = 2$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} = 2 + \frac{9}{4}$

Schritt 7

Bringe $- \frac{25}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{25}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 2 + \frac{9}{4} + \frac{25}{4}$

Schritt 8

Vereinfache $2 + \frac{9}{4} + \frac{25}{4}$ .

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Schritt 8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 2 + \frac{9 + 25}{4}$

Schritt 8.2

Addiere $9$ und $25$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 2 + \frac{34}{4}$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $34$ und $4$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $2$ aus $34$ heraus.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 2 + \frac{2 (17)}{4}$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 2 + \frac{2 \cdot 17}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 2 + \frac{2 \cdot 17}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 2 + \frac{17}{2}$

Schritt 8.4

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{17}{2}$

Schritt 8.5

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{17}{2}$

Schritt 8.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{2 \cdot 2 + 17}{2}$

Schritt 8.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{4 + 17}{2}$

Schritt 8.7.2

Addiere $4$ und $17$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{21}{2}$

Schritt 9

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 10

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = \frac{\sqrt{42}}{2}$

$h = \frac{3}{2}$

$k = - \frac{5}{2}$

Schritt 11

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(\frac{3}{2}, - \frac{5}{2})$

Schritt 12

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(\frac{3}{2}, - \frac{5}{2})$

Radius: $\frac{\sqrt{42}}{2}$

Schritt 13