Elementarmathematik Beispiele

$\ln (\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt[3]{6}})$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt[3]{6}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt[3]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}})$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt[3]{6}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{6}}^{2}})$

Schritt 2.1.2

Potenziere $\sqrt[3]{6}$ mit $1$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1} {\sqrt[3]{6}}^{2}})$

Schritt 2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1 + 2}})$

Schritt 2.1.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{3}})$

Schritt 2.1.5

Schreibe ${\sqrt[3]{6}}^{3}$ als $6$ um.

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Schritt 2.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{6}$ als $6^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Schritt 2.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Schritt 2.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}})$

Schritt 2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}})$

Schritt 2.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{1}})$

Schritt 2.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6})$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}$ heraus.

$\ln (\frac{3 (\sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2})}{6})$

Schritt 2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\ln (\frac{3 (\sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2})}{3 \cdot 2})$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{3 (\sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2})}{3 \cdot 2})$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{\sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{2})$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Schreibe ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ als $\sqrt[3]{6^{2}}$ um.

$\ln (\frac{\sqrt{5} \sqrt[3]{6^{2}}}{2})$

Schritt 3.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\ln (\frac{\sqrt{5} \sqrt[3]{36}}{2})$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $6$ .

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (\frac{5^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{36}}{2})$

Schritt 4.1.2

Schreibe $5^{\frac{1}{2}}$ als $5^{\frac{3}{6}}$ um.

$\ln (\frac{5^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{36}}{2})$

Schritt 4.1.3

Schreibe $5^{\frac{3}{6}}$ als $\sqrt[6]{5^{3}}$ um.

$\ln (\frac{\sqrt[6]{5^{3}} \sqrt[3]{36}}{2})$

Schritt 4.1.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{36}$ als $36^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\ln (\frac{\sqrt[6]{5^{3}} \cdot 36^{\frac{1}{3}}}{2})$

Schritt 4.1.5

Schreibe $36^{\frac{1}{3}}$ als $36^{\frac{2}{6}}$ um.

$\ln (\frac{\sqrt[6]{5^{3}} \cdot 36^{\frac{2}{6}}}{2})$

Schritt 4.1.6

Schreibe $36^{\frac{2}{6}}$ als $\sqrt[6]{36^{2}}$ um.

$\ln (\frac{\sqrt[6]{5^{3}} \sqrt[6]{36^{2}}}{2})$

Schritt 4.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\ln (\frac{\sqrt[6]{5^{3} \cdot 36^{2}}}{2})$

Schritt 4.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\ln (\frac{\sqrt[6]{125 \cdot 36^{2}}}{2})$

Schritt 4.4

Potenziere $36$ mit $2$ .

$\ln (\frac{\sqrt[6]{125 \cdot 1296}}{2})$

Schritt 5

Mutltipliziere $125$ mit $1296$ .

$\ln (\frac{\sqrt[6]{162000}}{2})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (\frac{\sqrt[6]{162000}}{2})$

Dezimalform:

$1.30607808 \dots$