Elementarmathematik Beispiele

$\ln (x - \frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{x + 1})$

Schritt 1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - \frac{1}{x}) \frac{x}{x + 1})$

Schritt 2

Mutltipliziere $x - \frac{1}{x}$ mit $\frac{x}{x + 1}$ .

$\ln (\frac{(x - \frac{1}{x}) x}{x + 1})$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\ln (\frac{(\frac{x \cdot x}{x} - \frac{1}{x}) x}{x + 1})$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (\frac{\frac{x \cdot x - 1}{x} x}{x + 1})$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{1} x - 1}{x} x}{x + 1})$

Schritt 3.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{1} x^{1} - 1}{x} x}{x + 1})$

Schritt 3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (\frac{\frac{x^{1 + 1} - 1}{x} x}{x + 1})$

Schritt 3.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2} - 1}{x} x}{x + 1})$

Schritt 3.3.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\ln (\frac{\frac{x^{2} - 1^{2}}{x} x}{x + 1})$

Schritt 3.3.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\ln (\frac{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} x}{x + 1})$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x}$ und $x$ .

$\ln (\frac{\frac{(x + 1) (x - 1) x}{x}}{x + 1})$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{(x + 1) (x - 1) x}{x}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{\frac{(x + 1) (x - 1) x}{x}}{x + 1})$

Schritt 5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{\frac{(x + 1) (x - 1)}{1}}{x + 1})$

Schritt 5.2

Dividiere $(x + 1) (x - 1)$ durch $1$ .

$\ln (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1})$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1})$

Schritt 6.2

Dividiere $x - 1$ durch $1$ .

$\ln (x - 1)$