Elementarmathematik Beispiele

$\log (\sqrt{\frac{x^{9} + 7}{(x^{8} + 5) {(x^{5} - 10)}^{4}}})$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{9} + 7}{(x^{8} + 5) {(x^{5} - 10)}^{4}}$ als ${(\frac{1}{{(x^{5} - 10)}^{2}})}^{2} \frac{x^{9} + 7}{{(x^{4})}^{2} + 5}$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $x^{9} + 7$ heraus.

$\log (\sqrt{\frac{1^{2} (x^{9} + 7)}{(x^{8} + 5) {(x^{5} - 10)}^{4}}})$

Schritt 1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz ${({(x^{5} - 10)}^{2})}^{2}$ aus $(x^{8} + 5) {(x^{5} - 10)}^{4}$ heraus.

$\log (\sqrt{\frac{1^{2} (x^{9} + 7)}{{({(x^{5} - 10)}^{2})}^{2} ({(x^{4})}^{2} + 5)}})$

Schritt 1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (x^{9} + 7)}{{({(x^{5} - 10)}^{2})}^{2} ({(x^{4})}^{2} + 5)}$ um.

$\log (\sqrt{{(\frac{1}{{(x^{5} - 10)}^{2}})}^{2} \frac{x^{9} + 7}{{(x^{4})}^{2} + 5}})$

Schritt 2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\log (\frac{1}{{(x^{5} - 10)}^{2}} \sqrt{\frac{x^{9} + 7}{{(x^{4})}^{2} + 5}})$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{1}{{(x^{5} - 10)}^{2}} \sqrt{\frac{x^{9} + 7}{x^{4 \cdot 2} + 5}})$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\log (\frac{1}{{(x^{5} - 10)}^{2}} \sqrt{\frac{x^{9} + 7}{x^{8} + 5}})$

Schritt 4

Schreibe $\sqrt{\frac{x^{9} + 7}{x^{8} + 5}}$ als $\frac{\sqrt{x^{9} + 7}}{\sqrt{x^{8} + 5}}$ um.

$\log (\frac{1}{{(x^{5} - 10)}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{9} + 7}}{\sqrt{x^{8} + 5}})$

Schritt 5

Kombinieren.

$\log (\frac{1 \sqrt{x^{9} + 7}}{{(x^{5} - 10)}^{2} \sqrt{x^{8} + 5}})$

Schritt 6

Mutltipliziere $\sqrt{x^{9} + 7}$ mit $1$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7}}{{(x^{5} - 10)}^{2} \sqrt{x^{8} + 5}})$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x^{9} + 7}}{{(x^{5} - 10)}^{2} \sqrt{x^{8} + 5}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{8} + 5}}{\sqrt{x^{8} + 5}}$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7}}{{(x^{5} - 10)}^{2} \sqrt{x^{8} + 5}} \cdot \frac{\sqrt{x^{8} + 5}}{\sqrt{x^{8} + 5}})$

Schritt 8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x^{9} + 7}}{{(x^{5} - 10)}^{2} \sqrt{x^{8} + 5}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{8} + 5}}{\sqrt{x^{8} + 5}}$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} \sqrt{x^{8} + 5} \sqrt{x^{8} + 5}})$

Schritt 8.2

Bewege $\sqrt{x^{8} + 5}$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} (\sqrt{x^{8} + 5} \sqrt{x^{8} + 5})})$

Schritt 8.3

Potenziere $\sqrt{x^{8} + 5}$ mit $1$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} ({\sqrt{x^{8} + 5}}^{1} \sqrt{x^{8} + 5})})$

Schritt 8.4

Potenziere $\sqrt{x^{8} + 5}$ mit $1$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} ({\sqrt{x^{8} + 5}}^{1} {\sqrt{x^{8} + 5}}^{1})})$

Schritt 8.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} {\sqrt{x^{8} + 5}}^{1 + 1}})$

Schritt 8.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} {\sqrt{x^{8} + 5}}^{2}})$

Schritt 8.7

Schreibe ${\sqrt{x^{8} + 5}}^{2}$ als $x^{8} + 5$ um.

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Schritt 8.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{8} + 5}$ als ${(x^{8} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} {({(x^{8} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 8.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} {(x^{8} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 8.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} {(x^{8} + 5)}^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 8.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} {(x^{8} + 5)}^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 8.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} {(x^{8} + 5)}^{1}})$

Schritt 8.7.5

Vereinfache.

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} (x^{8} + 5)})$

Schritt 9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\log (\frac{\sqrt{(x^{9} + 7) (x^{8} + 5)}}{{(x^{5} - 10)}^{2} (x^{8} + 5)})$