Elementarmathematik Beispiele

$\log (a^{2} - 10 a - 11) - \log (a^{2} - 1)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{a^{2} - 10 a - 11}{a^{2} - 1})$

Schritt 2

Faktorisiere $a^{2} - 10 a - 11$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 11$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 11, 1$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\log (\frac{(a - 11) (a + 1)}{a^{2} - 1})$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\log (\frac{(a - 11) (a + 1)}{a^{2} - 1^{2}})$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 1$ .

$\log (\frac{(a - 11) (a + 1)}{(a + 1) (a - 1)})$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + 1$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{(a - 11) (a + 1)}{(a + 1) (a - 1)})$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{a - 11}{a - 1})$