Elementarmathematik Beispiele

$\log_{a} ({(\frac{5 x^{2} \sqrt[3]{1 - 4 x}}{7 {(x + 1)}^{2}})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{1 - 4 x}$ als ${(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\log_{a} ({(\frac{5 x^{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}}{7 {(x + 1)}^{2}})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 2

Zerlege $\log_{a} ({(\frac{5 x^{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}}{7 {(x + 1)}^{2}})}^{\frac{3}{2}})$ durch Herausziehen von $\frac{3}{2}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{3}{2} \log_{a} (\frac{5 x^{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}}{7 {(x + 1)}^{2}})$

Schritt 3

Schreibe $\log_{a} (\frac{5 x^{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}}{7 {(x + 1)}^{2}})$ als $\log_{a} (5 x^{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}) - \log_{a} (7 {(x + 1)}^{2})$ um.

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5 x^{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}) - \log_{a} (7 {(x + 1)}^{2}))$

Schritt 4

Schreibe $\log_{a} (5 x^{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}})$ als $\log_{a} (5 x^{2}) + \log_{a} ({(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}})$ um.

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5 x^{2}) + \log_{a} ({(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}) - \log_{a} (7 {(x + 1)}^{2}))$

Schritt 5

Schreibe $\log_{a} (5 x^{2})$ als $\log_{a} (5) + \log_{a} (x^{2})$ um.

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + \log_{a} (x^{2}) + \log_{a} ({(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}) - \log_{a} (7 {(x + 1)}^{2}))$

Schritt 6

Zerlege $\log_{a} (x^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + 2 \log_{a} (x) + \log_{a} ({(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}) - \log_{a} (7 {(x + 1)}^{2}))$

Schritt 7

Zerlege $\log_{a} ({(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{3}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + 2 \log_{a} (x) + \frac{1}{3} \log_{a} (1 - 4 x) - \log_{a} (7 {(x + 1)}^{2}))$

Schritt 8

Schreibe $\log_{a} (7 {(x + 1)}^{2})$ als $\log_{a} (7) + \log_{a} ({(x + 1)}^{2})$ um.

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + 2 \log_{a} (x) + \frac{1}{3} \log_{a} (1 - 4 x) - (\log_{a} (7) + \log_{a} ({(x + 1)}^{2})))$

Schritt 9

Zerlege $\log_{a} ({(x + 1)}^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + 2 \log_{a} (x) + \frac{1}{3} \log_{a} (1 - 4 x) - (\log_{a} (7) + 2 \log_{a} (x + 1)))$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\log_{a} (1 - 4 x)$ .

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + 2 \log_{a} (x) + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{3} - (\log_{a} (7) + 2 \log_{a} (x + 1)))$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + 2 \log_{a} (x) + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{3} - \log_{a} (7) - (2 \log_{a} (x + 1)))$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + 2 \log_{a} (x) + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{3} - \log_{a} (7) - 2 \log_{a} (x + 1))$

Schritt 11

Um $\log_{a} (5)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \log_{a} (5) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{3} - \log_{a} (7) - 2 \log_{a} (x + 1))$

Schritt 12

Kombiniere $\log_{a} (5)$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \frac{\log_{a} (5) \cdot 3}{3} + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{3} - \log_{a} (7) - 2 \log_{a} (x + 1))$

Schritt 13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \frac{\log_{a} (5) \cdot 3 + \log_{a} (1 - 4 x)}{3} - \log_{a} (7) - 2 \log_{a} (x + 1))$

Schritt 14

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\log_{a} (5)$ .

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x)}{3} - \log_{a} (7) - 2 \log_{a} (x + 1))$

Schritt 15

Um $- 2 \log_{a} (x + 1)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x)}{3} - 2 \log_{a} (x + 1) \cdot \frac{3}{3} - \log_{a} (7))$

Schritt 16

Kombiniere $- 2 \log_{a} (x + 1)$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x)}{3} + \frac{- 2 \log_{a} (x + 1) \cdot 3}{3} - \log_{a} (7))$

Schritt 17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 2 \log_{a} (x + 1) \cdot 3}{3} - \log_{a} (7))$

Schritt 18

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)}{3} - \log_{a} (7))$

Schritt 19

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x)) + \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)}{3} + \frac{3}{2} (- \log_{a} (7))$

Schritt 20

Vereinfache.

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Schritt 20.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 20.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \log_{a} (x)$ heraus.

$\frac{3}{2} (2 (\log_{a} (x))) + \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)}{3} + \frac{3}{2} (- \log_{a} (7))$

Schritt 20.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x)) + \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)}{3} + \frac{3}{2} (- \log_{a} (7))$

Schritt 20.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \log_{a} (x) + \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)}{3} + \frac{3}{2} (- \log_{a} (7))$

Schritt 20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 20.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \log_{a} (x) + \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)}{3} + \frac{3}{2} (- \log_{a} (7))$

Schritt 20.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \log_{a} (x) + \frac{1}{2} (3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)) + \frac{3}{2} (- \log_{a} (7))$

Schritt 20.3

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $\log_{a} (7)$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{1}{2} (3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Schritt 21

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 21.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \log_{a} (x) + \frac{1}{2} (3 \log_{a} (5)) + \frac{1}{2} \log_{a} (1 - 4 x) + \frac{1}{2} (- 6 \log_{a} (x + 1)) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Schritt 21.2

Vereinfache.

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Schritt 21.2.1

Multipliziere $\frac{1}{2} (3 \log_{a} (5))$ .

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Schritt 21.2.1.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{3}{2} \log_{a} (5) + \frac{1}{2} \log_{a} (1 - 4 x) + \frac{1}{2} (- 6 \log_{a} (x + 1)) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Schritt 21.2.1.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $\log_{a} (5)$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5)}{2} + \frac{1}{2} \log_{a} (1 - 4 x) + \frac{1}{2} (- 6 \log_{a} (x + 1)) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Schritt 21.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\log_{a} (1 - 4 x)$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5)}{2} + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{2} + \frac{1}{2} (- 6 \log_{a} (x + 1)) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Schritt 21.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 21.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 \log_{a} (x + 1)$ heraus.

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5)}{2} + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 3 \log_{a} (x + 1))) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Schritt 21.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5)}{2} + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 3 \log_{a} (x + 1))) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Schritt 21.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5)}{2} + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{2} - 3 \log_{a} (x + 1) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Schritt 21.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x)}{2} - 3 \log_{a} (x + 1) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Schritt 21.4

Um $- 3 \log_{a} (x + 1)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x)}{2} - 3 \log_{a} (x + 1) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Schritt 21.5

Kombiniere $- 3 \log_{a} (x + 1)$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x)}{2} + \frac{- 3 \log_{a} (x + 1) \cdot 2}{2} - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Schritt 21.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 3 \log_{a} (x + 1) \cdot 2}{2} - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Schritt 21.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)}{2} - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$