Elementarmathematik Beispiele

$\log_{3} ({(\frac{2 x \sqrt{x^{2} + 4}}{3 \sqrt[5]{x - 1}})}^{2})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 4}$ als ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\log_{3} ({(\frac{2 x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{3 \sqrt[5]{x - 1}})}^{2})$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$\log_{3} ({(\frac{2 x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{5}}})}^{2})$

Schritt 3

Zerlege $\log_{3} ({(\frac{2 x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{5}}})}^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$2 \log_{3} (\frac{2 x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 4

Schreibe $\log_{3} (\frac{2 x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{5}}})$ als $\log_{3} (2 x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - \log_{3} (3 {(x - 1)}^{\frac{1}{5}})$ um.

$2 (\log_{3} (2 x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - \log_{3} (3 {(x - 1)}^{\frac{1}{5}}))$

Schritt 5

Schreibe $\log_{3} (2 x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$ als $\log_{3} (2 x) + \log_{3} ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$ um.

$2 (\log_{3} (2 x) + \log_{3} ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - \log_{3} (3 {(x - 1)}^{\frac{1}{5}}))$

Schritt 6

Schreibe $\log_{3} (2 x)$ als $\log_{3} (2) + \log_{3} (x)$ um.

$2 (\log_{3} (2) + \log_{3} (x) + \log_{3} ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - \log_{3} (3 {(x - 1)}^{\frac{1}{5}}))$

Schritt 7

Zerlege $\log_{3} ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{2}$ aus dem Logarithmus.

$2 (\log_{3} (2) + \log_{3} (x) + \frac{1}{2} \log_{3} (x^{2} + 4) - \log_{3} (3 {(x - 1)}^{\frac{1}{5}}))$

Schritt 8

Schreibe $\log_{3} (3 {(x - 1)}^{\frac{1}{5}})$ als $\log_{3} (3) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{5}})$ um.

$2 (\log_{3} (2) + \log_{3} (x) + \frac{1}{2} \log_{3} (x^{2} + 4) - (\log_{3} (3) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{5}})))$

Schritt 9

Zerlege $\log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{5}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{5}$ aus dem Logarithmus.

$2 (\log_{3} (2) + \log_{3} (x) + \frac{1}{2} \log_{3} (x^{2} + 4) - (\log_{3} (3) + \frac{1}{5} \log_{3} (x - 1)))$

Schritt 10

Die logarithmische Basis $3$ von $3$ ist $1$ .

$2 (\log_{3} (2) + \log_{3} (x) + \frac{1}{2} \log_{3} (x^{2} + 4) - (1 + \frac{1}{5} \log_{3} (x - 1)))$

Schritt 11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\log_{3} (x^{2} + 4)$ .

$2 (\log_{3} (2) + \log_{3} (x) + \frac{\log_{3} (x^{2} + 4)}{2} - (1 + \frac{1}{5} \log_{3} (x - 1)))$

Schritt 11.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $\log_{3} (x - 1)$ .

$2 (\log_{3} (2) + \log_{3} (x) + \frac{\log_{3} (x^{2} + 4)}{2} - (1 + \frac{\log_{3} (x - 1)}{5}))$

Schritt 11.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 (\log_{3} (2) + \log_{3} (x) + \frac{\log_{3} (x^{2} + 4)}{2} - (\frac{5}{5} + \frac{\log_{3} (x - 1)}{5}))$

Schritt 11.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\log_{3} (2) + \log_{3} (x) + \frac{\log_{3} (x^{2} + 4)}{2} - \frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5})$

Schritt 12

Um $\log_{3} (2)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (\log_{3} (2) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\log_{3} (x^{2} + 4)}{2} + \log_{3} (x) - \frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5})$

Schritt 13

Kombiniere $\log_{3} (2)$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{\log_{3} (2) \cdot 2}{2} + \frac{\log_{3} (x^{2} + 4)}{2} + \log_{3} (x) - \frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5})$

Schritt 14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{\log_{3} (2) \cdot 2 + \log_{3} (x^{2} + 4)}{2} + \log_{3} (x) - \frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5})$

Schritt 15

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\log_{3} (2)$ .

$2 (\frac{2 \log_{3} (2) + \log_{3} (x^{2} + 4)}{2} + \log_{3} (x) - \frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5})$

Schritt 16

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \frac{2 \log_{3} (2) + \log_{3} (x^{2} + 4)}{2} + 2 \log_{3} (x) + 2 (- \frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5})$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{2 \log_{3} (2) + \log_{3} (x^{2} + 4)}{2} + 2 \log_{3} (x) + 2 (- \frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5})$

Schritt 17.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \log_{3} (2) + \log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + 2 (- \frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5})$

Schritt 17.2

Multipliziere $2 (- \frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5})$ .

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Schritt 17.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \log_{3} (2) + \log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) - 2 \frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5}$

Schritt 17.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{5 + \log_{3} (x - 1)}{5}$ .

$2 \log_{3} (2) + \log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + \frac{- 2 (5 + \log_{3} (x - 1))}{5}$

Schritt 18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \log_{3} (2) + \log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) - \frac{2 (5 + \log_{3} (x - 1))}{5}$

Schritt 19

Um $2 \log_{3} (2)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + 2 \log_{3} (2) \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 (5 + \log_{3} (x - 1))}{5}$

Schritt 20

Kombiniere $2 \log_{3} (2)$ und $\frac{5}{5}$ .

$\log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + \frac{2 \log_{3} (2) \cdot 5}{5} - \frac{2 (5 + \log_{3} (x - 1))}{5}$

Schritt 21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + \frac{2 \log_{3} (2) \cdot 5 - 2 (5 + \log_{3} (x - 1))}{5}$

Schritt 22

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 22.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \log_{3} (2) \cdot 5 - 2 (5 + \log_{3} (x - 1))$ heraus.

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Schritt 22.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \log_{3} (2) \cdot 5$ heraus.

$\log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + \frac{2 (\log_{3} (2) \cdot 5) - 2 (5 + \log_{3} (x - 1))}{5}$

Schritt 22.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 (5 + \log_{3} (x - 1))$ heraus.

$\log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + \frac{2 (\log_{3} (2) \cdot 5) + 2 (- (5 + \log_{3} (x - 1)))}{5}$

Schritt 22.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\log_{3} (2) \cdot 5) + 2 (- (5 + \log_{3} (x - 1)))$ heraus.

$\log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + \frac{2 (\log_{3} (2) \cdot 5 - (5 + \log_{3} (x - 1)))}{5}$

Schritt 22.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\log_{3} (2)$ .

$\log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + \frac{2 (5 \cdot \log_{3} (2) - (5 + \log_{3} (x - 1)))}{5}$

Schritt 22.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + \frac{2 (5 \log_{3} (2) - 1 \cdot 5 - \log_{3} (x - 1))}{5}$

Schritt 22.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\log_{3} (x^{2} + 4) + 2 \log_{3} (x) + \frac{2 (5 \log_{3} (2) - 5 - \log_{3} (x - 1))}{5}$

Schritt 23

Um $\log_{3} (x^{2} + 4)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (x^{2} + 4) \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 (5 \log_{3} (2) - 5 - \log_{3} (x - 1))}{5}$

Schritt 24

Kombiniere $\log_{3} (x^{2} + 4)$ und $\frac{5}{5}$ .

$2 \log_{3} (x) + \frac{\log_{3} (x^{2} + 4) \cdot 5}{5} + \frac{2 (5 \log_{3} (2) - 5 - \log_{3} (x - 1))}{5}$

Schritt 25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \log_{3} (x) + \frac{\log_{3} (x^{2} + 4) \cdot 5 + 2 (5 \log_{3} (2) - 5 - \log_{3} (x - 1))}{5}$

Schritt 26

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 26.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\log_{3} (x^{2} + 4)$ .

$2 \log_{3} (x) + \frac{5 \cdot \log_{3} (x^{2} + 4) + 2 (5 \log_{3} (2) - 5 - \log_{3} (x - 1))}{5}$

Schritt 26.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \log_{3} (x) + \frac{5 \log_{3} (x^{2} + 4) + 2 (5 \log_{3} (2)) + 2 \cdot - 5 + 2 (- \log_{3} (x - 1))}{5}$

Schritt 26.3

Vereinfache.

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Schritt 26.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$2 \log_{3} (x) + \frac{5 \log_{3} (x^{2} + 4) + 10 \log_{3} (2) + 2 \cdot - 5 + 2 (- \log_{3} (x - 1))}{5}$

Schritt 26.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$2 \log_{3} (x) + \frac{5 \log_{3} (x^{2} + 4) + 10 \log_{3} (2) - 10 + 2 (- \log_{3} (x - 1))}{5}$

Schritt 26.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \log_{3} (x) + \frac{5 \log_{3} (x^{2} + 4) + 10 \log_{3} (2) - 10 - 2 \log_{3} (x - 1)}{5}$

Schritt 27

Um $2 \log_{3} (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$2 \log_{3} (x) \cdot \frac{5}{5} + \frac{5 \log_{3} (x^{2} + 4) + 10 \log_{3} (2) - 10 - 2 \log_{3} (x - 1)}{5}$

Schritt 28

Kombiniere $2 \log_{3} (x)$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \log_{3} (x) \cdot 5}{5} + \frac{5 \log_{3} (x^{2} + 4) + 10 \log_{3} (2) - 10 - 2 \log_{3} (x - 1)}{5}$

Schritt 29

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \log_{3} (x) \cdot 5 + 5 \log_{3} (x^{2} + 4) + 10 \log_{3} (2) - 10 - 2 \log_{3} (x - 1)}{5}$

Schritt 30

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 \log_{3} (x) + 5 \log_{3} (x^{2} + 4) + 10 \log_{3} (2) - 10 - 2 \log_{3} (x - 1)}{5}$