Elementarmathematik Beispiele

$3 \log_{2} (\sqrt{x}) - \log_{2} (x + 1) + \frac{\log_{2} (25)}{2} = 3$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe $\log_{2} (25)$ als $\log_{2} (5^{2})$ um.

$3 \log_{2} (\sqrt{x}) - \log_{2} (x + 1) + \frac{\log_{2} (5^{2})}{2} = 3$

Schritt 1.2

Zerlege $\log_{2} (5^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$3 \log_{2} (\sqrt{x}) - \log_{2} (x + 1) + \frac{2 \log_{2} (5)}{2} = 3$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \log_{2} (\sqrt{x}) - \log_{2} (x + 1) + \frac{2 \log_{2} (5)}{2} = 3$

Schritt 1.3.2

Dividiere $\log_{2} (5)$ durch $1$ .

$3 \log_{2} (\sqrt{x}) - \log_{2} (x + 1) + \log_{2} (5) = 3$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $3 \log_{2} (\sqrt{x}) - \log_{2} (x + 1) + \log_{2} (5)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Vereinfache $3 \log_{2} (\sqrt{x})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{2} ({\sqrt{x}}^{3}) - \log_{2} (x + 1) + \log_{2} (5) = 3$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe ${\sqrt{x}}^{3}$ als $\sqrt{x^{3}}$ um.

$\log_{2} (\sqrt{x^{3}}) - \log_{2} (x + 1) + \log_{2} (5) = 3$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus.

$\log_{2} (\sqrt{x^{2} x}) - \log_{2} (x + 1) + \log_{2} (5) = 3$

Schritt 2.1.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\log_{2} (x \sqrt{x}) - \log_{2} (x + 1) + \log_{2} (5) = 3$

Schritt 2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x \sqrt{x}}{x + 1}) + \log_{2} (5) = 3$

Schritt 2.1.3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (\frac{x \sqrt{x}}{x + 1} \cdot 5) = 3$

Schritt 2.1.4

Kombiniere $\frac{x \sqrt{x}}{x + 1}$ und $5$ .

$\log_{2} (\frac{x \sqrt{x} \cdot 5}{x + 1}) = 3$

Schritt 2.1.5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x \sqrt{x}$ .

$\log_{2} (\frac{5 x \sqrt{x}}{x + 1}) = 3$

Schritt 3

Schreibe $\log_{2} (\frac{5 x \sqrt{x}}{x + 1}) = 3$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{5 x \sqrt{x}}{x + 1}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$5 x \sqrt{x} = 2^{3} (x + 1)$

Schritt 5

Vereinfache $2^{3} (x + 1)$ .

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Schritt 5.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$5 x \sqrt{x} = 8 (x + 1)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x \sqrt{x} = 8 x + 8 \cdot 1$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$5 x \sqrt{x} = 8 x + 8$

Schritt 6

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x \sqrt{x} - 8 x = 8$

Schritt 7

Faktorisiere $x$ aus $5 x \sqrt{x} - 8 x$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x \sqrt{x}$ heraus.

$x (5 \sqrt{x}) - 8 x = 8$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x$ aus $- 8 x$ heraus.

$x (5 \sqrt{x}) + x \cdot - 8 = 8$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x$ aus $x (5 \sqrt{x}) + x \cdot - 8$ heraus.

$x (5 \sqrt{x} - 8) = 8$

Schritt 8

Löse nach $5 \sqrt{x}$ auf.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x (5 \sqrt{x} - 8) = 8$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x (5 \sqrt{x} - 8) = 8$ durch $x$ .

$\frac{x (5 \sqrt{x} - 8)}{x} = \frac{8}{x}$

Schritt 8.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (5 \sqrt{x} - 8)}{x} = \frac{8}{x}$

Schritt 8.1.2.1.2

Dividiere $5 \sqrt{x} - 8$ durch $1$ .

$5 \sqrt{x} - 8 = \frac{8}{x}$

Schritt 8.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 \sqrt{x} = \frac{8}{x} + 8$

Schritt 9

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(5 \sqrt{x})}^{2} = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Schritt 10

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(5 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Schritt 10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache ${(5 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.2.1.1

Wende die Produktregel auf $5 x^{\frac{1}{2}}$ an.

$5^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Schritt 10.2.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Schritt 10.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Schritt 10.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Schritt 10.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$25 x^{1} = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Schritt 10.2.1.4

Vereinfache.

$25 x = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Schritt 10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.1

Vereinfache ${(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$ .

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Schritt 10.3.1.1

Schreibe ${(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$ als $(\frac{8}{x} + 8) (\frac{8}{x} + 8)$ um.

$25 x = (\frac{8}{x} + 8) (\frac{8}{x} + 8)$

Schritt 10.3.1.2

Multipliziere $(\frac{8}{x} + 8) (\frac{8}{x} + 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$25 x = \frac{8}{x} (\frac{8}{x} + 8) + 8 (\frac{8}{x} + 8)$

Schritt 10.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$25 x = \frac{8}{x} \cdot \frac{8}{x} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 (\frac{8}{x} + 8)$

Schritt 10.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$25 x = \frac{8}{x} \cdot \frac{8}{x} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Schritt 10.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.1.3.1.1

Multipliziere $\frac{8}{x} \cdot \frac{8}{x}$ .

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Schritt 10.3.1.3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{8}{x}$ mit $\frac{8}{x}$ .

$25 x = \frac{8 \cdot 8}{x \cdot x} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Schritt 10.3.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$25 x = \frac{64}{x \cdot x} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Schritt 10.3.1.3.1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$25 x = \frac{64}{x^{1} x} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Schritt 10.3.1.3.1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$25 x = \frac{64}{x^{1} x^{1}} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Schritt 10.3.1.3.1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$25 x = \frac{64}{x^{1 + 1}} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Schritt 10.3.1.3.1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Schritt 10.3.1.3.1.2

Multipliziere $\frac{8}{x} \cdot 8$ .

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Schritt 10.3.1.3.1.2.1

Kombiniere $\frac{8}{x}$ und $8$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{8 \cdot 8}{x} + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Schritt 10.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{64}{x} + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Schritt 10.3.1.3.1.3

Multipliziere $8 \frac{8}{x}$ .

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Schritt 10.3.1.3.1.3.1

Kombiniere $8$ und $\frac{8}{x}$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{64}{x} + \frac{8 \cdot 8}{x} + 8 \cdot 8$

Schritt 10.3.1.3.1.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{64}{x} + \frac{64}{x} + 8 \cdot 8$

Schritt 10.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{64}{x} + \frac{64}{x} + 64$

Schritt 10.3.1.3.2

Addiere $\frac{64}{x}$ und $\frac{64}{x}$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + 2 \frac{64}{x} + 64$

Schritt 10.3.1.4

Multipliziere $2 \frac{64}{x}$ .

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Schritt 10.3.1.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{64}{x}$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{2 \cdot 64}{x} + 64$

Schritt 10.3.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{128}{x} + 64$

Schritt 11

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 11.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{2}, x, 1$

Schritt 11.1.2

Since $1, x^{2}, x, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}$ .

Schritt 11.1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 11.1.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 11.1.5

Das kgV von $1, 1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 11.1.6

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 11.1.7

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 11.1.8

Das kgV von $x^{2}, x^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x$

Schritt 11.1.9

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2}$

Schritt 11.2

Multipliziere jeden Term in $25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{128}{x} + 64$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 11.2.1

Multipliziere jeden Term in $25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{128}{x} + 64$ mit $x^{2}$ .

$25 x \cdot x^{2} = \frac{64}{x^{2}} x^{2} + \frac{128}{x} x^{2} + 64 x^{2}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.2.2.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$25 (x^{2} x) = \frac{64}{x^{2}} x^{2} + \frac{128}{x} x^{2} + 64 x^{2}$

Schritt 11.2.2.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 11.2.2.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$25 (x^{2} x^{1}) = \frac{64}{x^{2}} x^{2} + \frac{128}{x} x^{2} + 64 x^{2}$

Schritt 11.2.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$25 x^{2 + 1} = \frac{64}{x^{2}} x^{2} + \frac{128}{x} x^{2} + 64 x^{2}$

Schritt 11.2.2.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$25 x^{3} = \frac{64}{x^{2}} x^{2} + \frac{128}{x} x^{2} + 64 x^{2}$

Schritt 11.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 11.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 x^{3} = \frac{64}{x^{2}} x^{2} + \frac{128}{x} x^{2} + 64 x^{2}$

Schritt 11.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$25 x^{3} = 64 + \frac{128}{x} x^{2} + 64 x^{2}$

Schritt 11.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 11.2.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$25 x^{3} = 64 + \frac{128}{x} (x \cdot x) + 64 x^{2}$

Schritt 11.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 x^{3} = 64 + \frac{128}{x} (x \cdot x) + 64 x^{2}$

Schritt 11.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$25 x^{3} = 64 + 128 x + 64 x^{2}$

Schritt 11.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 11.3.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 11.3.1.1

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 x^{3} - 64 = 128 x + 64 x^{2}$

Schritt 11.3.1.2

Subtrahiere $128 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 x^{3} - 64 - 128 x = 64 x^{2}$

Schritt 11.3.1.3

Subtrahiere $64 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 x^{3} - 64 - 128 x - 64 x^{2} = 0$

Schritt 11.3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 11.3.2.1

Stelle die Terme um.

$25 x^{3} - 64 x^{2} - 128 x - 64 = 0$

Schritt 11.3.2.2

Faktorisiere $25 x^{3} - 64 x^{2} - 128 x - 64$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 11.3.2.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

Schritt 11.3.2.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.04, \pm 0.2, \pm 64, \pm 2.56, \pm 12.8, \pm 2, \pm 0.08, \pm 0.4, \pm 32, \pm 1.28, \pm 6.4, \pm 4, \pm 0.16, \pm 0.8, \pm 16, \pm 0.64, \pm 3.2, \pm 8, \pm 0.32, \pm 1.6$

Schritt 11.3.2.2.3

Setze $4$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $4$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 11.3.2.2.3.1

Setze $4$ in das Polynom ein.

$25 \cdot 4^{3} - 64 \cdot 4^{2} - 128 \cdot 4 - 64$

Schritt 11.3.2.2.3.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$25 \cdot 64 - 64 \cdot 4^{2} - 128 \cdot 4 - 64$

Schritt 11.3.2.2.3.3

Mutltipliziere $25$ mit $64$ .

$1600 - 64 \cdot 4^{2} - 128 \cdot 4 - 64$

Schritt 11.3.2.2.3.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$1600 - 64 \cdot 16 - 128 \cdot 4 - 64$

Schritt 11.3.2.2.3.5

Mutltipliziere $- 64$ mit $16$ .

$1600 - 1024 - 128 \cdot 4 - 64$

Schritt 11.3.2.2.3.6

Subtrahiere $1024$ von $1600$ .

$576 - 128 \cdot 4 - 64$

Schritt 11.3.2.2.3.7

Mutltipliziere $- 128$ mit $4$ .

$576 - 512 - 64$

Schritt 11.3.2.2.3.8

Subtrahiere $512$ von $576$ .

$64 - 64$

Schritt 11.3.2.2.3.9

Subtrahiere $64$ von $64$ .

$0$

Schritt 11.3.2.2.4

Da $4$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 4$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{25 x^{3} - 64 x^{2} - 128 x - 64}{x - 4}$

Schritt 11.3.2.2.5

Dividiere $25 x^{3} - 64 x^{2} - 128 x - 64$ durch $x - 4$ .

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Schritt 11.3.2.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$4$

$25 x^{3}$

$64 x^{2}$

$128 x$

$64$

Schritt 11.3.2.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $25 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$25 x^{2}$
	$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$

Schritt 11.3.2.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$25 x^{2}$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			+	$25 x^{3}$	-	$100 x^{2}$

Schritt 11.3.2.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $25 x^{3} - 100 x^{2}$

				$25 x^{2}$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$

Schritt 11.3.2.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$25 x^{2}$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$

Schritt 11.3.2.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$25 x^{2}$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$

Schritt 11.3.2.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $36 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$25 x^{2}$	+	$36 x$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$

Schritt 11.3.2.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$25 x^{2}$	+	$36 x$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					+	$36 x^{2}$	-	$144 x$

Schritt 11.3.2.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $36 x^{2} - 144 x$

				$25 x^{2}$	+	$36 x$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					-	$36 x^{2}$	+	$144 x$

Schritt 11.3.2.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$25 x^{2}$	+	$36 x$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					-	$36 x^{2}$	+	$144 x$
							+	$16 x$

Schritt 11.3.2.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$25 x^{2}$	+	$36 x$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					-	$36 x^{2}$	+	$144 x$
							+	$16 x$	-	$64$

Schritt 11.3.2.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $16 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$25 x^{2}$	+	$36 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					-	$36 x^{2}$	+	$144 x$
							+	$16 x$	-	$64$

Schritt 11.3.2.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$25 x^{2}$	+	$36 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					-	$36 x^{2}$	+	$144 x$
							+	$16 x$	-	$64$
							+	$16 x$	-	$64$

Schritt 11.3.2.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $16 x - 64$

				$25 x^{2}$	+	$36 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					-	$36 x^{2}$	+	$144 x$
							+	$16 x$	-	$64$
							-	$16 x$	+	$64$

Schritt 11.3.2.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$25 x^{2}$	+	$36 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					-	$36 x^{2}$	+	$144 x$
							+	$16 x$	-	$64$
							-	$16 x$	+	$64$
										$0$

Schritt 11.3.2.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$25 x^{2} + 36 x + 16$

Schritt 11.3.2.2.6

Schreibe $25 x^{3} - 64 x^{2} - 128 x - 64$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 4) (25 x^{2} + 36 x + 16) = 0$

Schritt 11.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$25 x^{2} + 36 x + 16 = 0$

Schritt 11.3.4

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.3.4.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 11.3.4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 11.3.5

Setze $25 x^{2} + 36 x + 16$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.3.5.1

Setze $25 x^{2} + 36 x + 16$ gleich $0$ .

$25 x^{2} + 36 x + 16 = 0$

Schritt 11.3.5.2

Löse $25 x^{2} + 36 x + 16 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.3.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 11.3.5.2.2

Setze die Werte $a = 25$ , $b = 36$ und $c = 16$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 36 \pm \sqrt{36^{2} - 4 \cdot (25 \cdot 16)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 11.3.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.3.5.2.3.1.1

Potenziere $36$ mit $2$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 25 \cdot 16}}{2 \cdot 25}$

Schritt 11.3.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 25 \cdot 16$ .

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Schritt 11.3.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 100 \cdot 16}}{2 \cdot 25}$

Schritt 11.3.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 100$ mit $16$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 1600}}{2 \cdot 25}$

Schritt 11.3.5.2.3.1.3

Subtrahiere $1600$ von $1296$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{- 304}}{2 \cdot 25}$

Schritt 11.3.5.2.3.1.4

Schreibe $- 304$ als $- 1 (304)$ um.

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{- 1 \cdot 304}}{2 \cdot 25}$

Schritt 11.3.5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (304)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{304}$ um.

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{304}}{2 \cdot 25}$

Schritt 11.3.5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 36 \pm i \cdot \sqrt{304}}{2 \cdot 25}$

Schritt 11.3.5.2.3.1.7

Schreibe $304$ als $4^{2} \cdot 19$ um.

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Schritt 11.3.5.2.3.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $304$ heraus.

$x = \frac{- 36 \pm i \cdot \sqrt{16 (19)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 11.3.5.2.3.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 36 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 25}$

Schritt 11.3.5.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 36 \pm i \cdot (4 \sqrt{19})}{2 \cdot 25}$

Schritt 11.3.5.2.3.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 36 \pm 4 i \sqrt{19}}{2 \cdot 25}$

Schritt 11.3.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$x = \frac{- 36 \pm 4 i \sqrt{19}}{50}$

Schritt 11.3.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 36 \pm 4 i \sqrt{19}}{50}$ .

$x = \frac{- 18 \pm 2 i \sqrt{19}}{25}$

Schritt 11.3.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{18 - 2 i \sqrt{19}}{25}, - \frac{18 + 2 i \sqrt{19}}{25}$

Schritt 11.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (25 x^{2} + 36 x + 16) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - \frac{18 - 2 i \sqrt{19}}{25}, - \frac{18 + 2 i \sqrt{19}}{25}$