Elementarmathematik Beispiele

$\log_{b} (2 x^{2} + 5 x - 7) - \log_{b} (2 x + 7) (r^{2} - 1) + \log_{b} (x + 1) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) (r^{2} - 1) + \log_{b} ((2 x^{2} + 5 x - 7) (x + 1)) = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} - \log_{b} (2 x + 7) \cdot - 1 + \log_{b} ((2 x^{2} + 5 x - 7) (x + 1)) = 0$

Schritt 1.2.2

Multipliziere $- \log_{b} (2 x + 7) \cdot - 1$ .

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Schritt 1.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + 1 \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} ((2 x^{2} + 5 x - 7) (x + 1)) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $\log_{b} (2 x + 7)$ mit $1$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} ((2 x^{2} + 5 x - 7) (x + 1)) = 0$

Schritt 1.2.3

Multipliziere $(2 x^{2} + 5 x - 7) (x + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 0$

Schritt 1.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.4.1.1

Bewege $x$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 0$

Schritt 1.2.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.4.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 0$

Schritt 1.2.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 0$

Schritt 1.2.4.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 0$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 0$

Schritt 1.2.4.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.4.3.1

Bewege $x$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 x^{3} + 2 x^{2} + 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 0$

Schritt 1.2.4.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x^{2} + 5 x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 0$

Schritt 1.2.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x^{2} + 5 x - 7 x - 7 \cdot 1) = 0$

Schritt 1.2.4.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x^{2} + 5 x - 7 x - 7) = 0$

Schritt 1.2.5

Addiere $2 x^{2}$ und $5 x^{2}$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 x^{3} + 7 x^{2} + 5 x - 7 x - 7) = 0$

Schritt 1.2.6

Subtrahiere $7 x$ von $5 x$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 x^{3} + 7 x^{2} - 2 x - 7) = 0$

Schritt 1.3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} ((2 x + 7) (2 x^{3} + 7 x^{2} - 2 x - 7)) = 0$

Schritt 1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1

Multipliziere $(2 x + 7) (2 x^{3} + 7 x^{2} - 2 x - 7)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x (2 x^{3}) + 2 x (7 x^{2}) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Schritt 1.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 \cdot (2 x \cdot x^{3}) + 2 x (7 x^{2}) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Schritt 1.4.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.2.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 \cdot (2 (x^{3} x)) + 2 x (7 x^{2}) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Schritt 1.4.2.2.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 \cdot (2 (x^{3} x)) + 2 x (7 x^{2}) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 \cdot (2 x^{3 + 1}) + 2 x (7 x^{2}) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Schritt 1.4.2.2.3

Addiere $3$ und $1$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x (7 x^{2}) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Schritt 1.4.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 2 x (7 x^{2}) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Schritt 1.4.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 2 \cdot (7 x \cdot x^{2}) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Schritt 1.4.2.5

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.2.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 2 \cdot (7 (x^{2} x)) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Schritt 1.4.2.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.4.2.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 2 \cdot (7 (x^{2} x)) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Schritt 1.4.2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 2 \cdot (7 x^{2 + 1}) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Schritt 1.4.2.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 2 \cdot (7 x^{3}) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Schritt 1.4.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 14 x^{3} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Schritt 1.4.2.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 14 x^{3} + 2 \cdot (- 2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Schritt 1.4.2.8

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.2.8.1

Bewege $x$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 14 x^{3} + 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Schritt 1.4.2.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 14 x^{3} + 2 \cdot (- 2 x^{2}) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Schritt 1.4.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 14 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Schritt 1.4.2.10

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 14 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Schritt 1.4.2.11

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 14 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 14 x^{3} + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Schritt 1.4.2.12

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 14 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 14 x^{3} + 49 x^{2} + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Schritt 1.4.2.13

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 14 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 14 x^{3} + 49 x^{2} - 14 x + 7 \cdot - 7) = 0$

Schritt 1.4.2.14

Mutltipliziere $7$ mit $- 7$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 14 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 14 x^{3} + 49 x^{2} - 14 x - 49) = 0$

Schritt 1.4.3

Addiere $14 x^{3}$ und $14 x^{3}$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 28 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 49 x^{2} - 14 x - 49) = 0$

Schritt 1.4.4

Addiere $- 4 x^{2}$ und $49 x^{2}$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 28 x^{3} + 45 x^{2} - 14 x - 14 x - 49) = 0$

Schritt 1.4.5

Subtrahiere $14 x$ von $- 14 x$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 28 x^{3} + 45 x^{2} - 28 x - 49) = 0$

Schritt 1.5

Stelle die Faktoren in $- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 28 x^{3} + 45 x^{2} - 28 x - 49)$ um.

$- r^{2} \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (4 x^{4} + 28 x^{3} + 45 x^{2} - 28 x - 49) = 0$

Schritt 2

Schreibe $\log_{b} (4 x^{4} + 28 x^{3} + 45 x^{2} - 28 x - 49) = r^{2} \log_{b} (2 x + 7)$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$b^{r^{2} \log_{b} (2 x + 7)} = 4 x^{4} + 28 x^{3} + 45 x^{2} - 28 x - 49$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (b^{r^{2} \log_{b} (2 x + 7)}) = \ln (4 x^{4} + 28 x^{3} + 45 x^{2} - 28 x - 49)$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln (b^{r^{2} \log_{b} (2 x + 7)})$ durch Herausziehen von $r^{2} \log_{b} (2 x + 7)$ aus dem Logarithmus.

$r^{2} \log_{b} (2 x + 7) \ln (b) = \ln (4 x^{4} + 28 x^{3} + 45 x^{2} - 28 x - 49)$