Elementarmathematik Beispiele

$\ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \sqrt{1 + x^{2}}})$

Schritt 1

Schreibe $\ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \sqrt{1 + x^{2}}})$ als $\ln (x^{\frac{1}{2}}) - \ln (x^{2} \sqrt{1 + x^{2}})$ um.

$\ln (x^{\frac{1}{2}}) - \ln (x^{2} \sqrt{1 + x^{2}})$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (x^{\frac{1}{2}}) - \ln (x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{2}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{2} \ln (x) - \ln (x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4

Schreibe $\ln (x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ als $\ln (x^{2}) + \ln ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ um.

$\frac{1}{2} \ln (x) - (\ln (x^{2}) + \ln ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 5

Zerlege $\ln (x^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{2} \ln (x) - (2 \ln (x) + \ln ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 6

Zerlege $\ln ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{2}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{2} \ln (x) - (2 \ln (x) + \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2}))$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{2} - (2 \ln (x) + \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2}))$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (1 + x^{2})$ .

$\frac{\ln (x)}{2} - (2 \ln (x) + \frac{\ln (1 + x^{2})}{2})$

Schritt 7.3

Um $2 \ln (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x)}{2} - (2 \ln (x) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (1 + x^{2})}{2})$

Schritt 7.4

Kombiniere $2 \ln (x)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x)}{2} - (\frac{2 \ln (x) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (1 + x^{2})}{2})$

Schritt 7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (x)}{2} - \frac{2 \ln (x) \cdot 2 + \ln (1 + x^{2})}{2}$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\ln (x)}{2} - \frac{4 \ln (x) + \ln (1 + x^{2})}{2}$