Elementarmathematik Beispiele

$\ln (\frac{\sqrt[5]{4 x^{2 - 1}}}{4 x^{2 + 1}})$

Schritt 1

Schreibe $\ln (\frac{\sqrt[5]{4 x^{2 - 1}}}{4 x^{2 + 1}})$ als $\ln (\sqrt[5]{4 x^{2 - 1}}) - \ln (4 x^{2 + 1})$ um.

$\ln (\sqrt[5]{4 x^{2 - 1}}) - \ln (4 x^{2 + 1})$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{4 x^{2 - 1}}$ als ${(4 x^{2 - 1})}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$\ln ({(4 x^{2 - 1})}^{\frac{1}{5}}) - \ln (4 x^{2 + 1})$

Schritt 3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\ln ({(4 x^{1})}^{\frac{1}{5}}) - \ln (4 x^{2 + 1})$

Schritt 4

Zerlege $\ln ({(4 x^{1})}^{\frac{1}{5}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{5}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{5} \ln (4 x^{1}) - \ln (4 x^{2 + 1})$

Schritt 5

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1}{5} \ln (4 x^{1}) - \ln (4 x^{3})$

Schritt 6

Schreibe $\ln (4 x^{1})$ als $\ln (4) + \ln (x^{1})$ um.

$\frac{1}{5} (\ln (4) + \ln (x^{1})) - \ln (4 x^{3})$

Schritt 7

Zerlege $\ln (x^{1})$ durch Herausziehen von $1$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{5} (\ln (4) + 1 \ln (x)) - \ln (4 x^{3})$

Schritt 8

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} (\ln (4) + \ln (x)) - \ln (4 x^{3})$

Schritt 9

Schreibe $\ln (4 x^{3})$ als $\ln (4) + \ln (x^{3})$ um.

$\frac{1}{5} (\ln (4) + \ln (x)) - (\ln (4) + \ln (x^{3}))$

Schritt 10

Zerlege $\ln (x^{3})$ durch Herausziehen von $3$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{5} (\ln (4) + \ln (x)) - (\ln (4) + 3 \ln (x))$

Schritt 11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$\frac{1}{5} (\ln (2^{2}) + \ln (x)) - (\ln (4) + 3 \ln (x))$

Schritt 11.1.2

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{5} (2 \ln (2) + \ln (x)) - (\ln (4) + 3 \ln (x))$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{5} (2 \ln (2)) + \frac{1}{5} \ln (x) - (\ln (4) + 3 \ln (x))$

Schritt 11.3

Multipliziere $\frac{1}{5} (2 \ln (2))$ .

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Schritt 11.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} \ln (2) + \frac{1}{5} \ln (x) - (\ln (4) + 3 \ln (x))$

Schritt 11.3.2

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $\ln (2)$ .

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{1}{5} \ln (x) - (\ln (4) + 3 \ln (x))$

Schritt 11.4

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - (\ln (4) + 3 \ln (x))$

Schritt 11.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.5.1

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - (\ln (2^{2}) + 3 \ln (x))$

Schritt 11.5.2

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - (2 \ln (2) + 3 \ln (x))$

Schritt 11.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - (2 \ln (2)) - (3 \ln (x))$

Schritt 11.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 2 \ln (2) - (3 \ln (x))$

Schritt 11.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 2 \ln (2) - 3 \ln (x)$

Schritt 12

Um $- 2 \ln (2)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \ln (2)}{5} - 2 \ln (2) \cdot \frac{5}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 3 \ln (x)$

Schritt 13

Kombiniere $- 2 \ln (2)$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{- 2 \ln (2) \cdot 5}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 3 \ln (x)$

Schritt 14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \ln (2) - 2 \ln (2) \cdot 5}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 3 \ln (x)$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$\frac{2 \ln (2) - 10 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 3 \ln (x)$

Schritt 15.1.2

Subtrahiere $10 \ln (2)$ von $2 \ln (2)$ .

$\frac{- 8 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 3 \ln (x)$

Schritt 15.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 3 \ln (x)$

Schritt 16

Um $- 3 \ln (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{8 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 3 \ln (x) \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 17

Kombiniere $- 3 \ln (x)$ und $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{8 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} + \frac{- 3 \ln (x) \cdot 5}{5}$

Schritt 18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{8 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x) - 3 \ln (x) \cdot 5}{5}$

Schritt 19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 8 \ln (2) + \ln (x) - 3 \ln (x) \cdot 5}{5}$

Schritt 20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 20.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$\frac{- 8 \ln (2) + \ln (x) - 15 \ln (x)}{5}$

Schritt 20.2

Subtrahiere $15 \ln (x)$ von $\ln (x)$ .

$\frac{- 8 \ln (2) - 14 \ln (x)}{5}$

Schritt 21

Faktorisiere $- 2$ aus $- 8 \ln (2) - 14 \ln (x)$ heraus.

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Schritt 21.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 8 \ln (2)$ heraus.

$\frac{- 2 (4 \ln (2)) - 14 \ln (x)}{5}$

Schritt 21.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 14 \ln (x)$ heraus.

$\frac{- 2 (4 \ln (2)) - 2 (7 \ln (x))}{5}$

Schritt 21.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (4 \ln (2)) - 2 (7 \ln (x))$ heraus.

$\frac{- 2 (4 \ln (2) + 7 \ln (x))}{5}$

Schritt 22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (4 \ln (2) + 7 \ln (x))}{5}$