Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 5 y - 60 = 0$

Schritt 1

Addiere $60$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 5 y = 60$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 x^{2} - 2 x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = - 2$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (4)}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{4}{16}$

Schritt 2.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $16$ .

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Schritt 2.4.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 (1)}{16}$

Schritt 2.4.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{4}$ ein.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{4}$

Schritt 3

Setze $4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{4}$ für $4 x^{2} - 2 x$ ein in der Gleichung $4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 5 y = 60$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{4} + 3 y^{2} + 5 y = 60$

Schritt 4

Bringe $- \frac{1}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{4}$ auf beiden Seiten.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 y^{2} + 5 y = 60 + \frac{1}{4}$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $3 y^{2} + 5 y$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 3$

$b = 5$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{5}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$d = \frac{5}{6}$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 3}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 3}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$e = 0 - \frac{25}{12}$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $\frac{25}{12}$ von $0$ .

$e = - \frac{25}{12}$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$ ein.

$3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$

Schritt 6

Setze $3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$ für $3 y^{2} + 5 y$ ein in der Gleichung $4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 5 y = 60$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{12} = 60 + \frac{1}{4}$

Schritt 7

Bringe $- \frac{25}{12}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{25}{12}$ auf beiden Seiten.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = 60 + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$

Schritt 8

Vereinfache $60 + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$ .

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Schritt 8.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 8.1.1

Schreibe $60$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60}{1} + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $\frac{60}{1}$ mit $\frac{12}{12}$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60}{1} \cdot \frac{12}{12} + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $\frac{60}{1}$ mit $\frac{12}{12}$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{12}$

Schritt 8.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{25}{12}$

Schritt 8.1.6

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 3$ um.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{3}{3 \cdot 4} + \frac{25}{12}$

Schritt 8.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{3}{12} + \frac{25}{12}$

Schritt 8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12 + 3 + 25}{12}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $60$ mit $12$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{720 + 3 + 25}{12}$

Schritt 8.3.2

Addiere $720$ und $3$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{723 + 25}{12}$

Schritt 8.3.3

Addiere $723$ und $25$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{748}{12}$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $748$ und $12$ .

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $4$ aus $748$ heraus.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{4 (187)}{12}$

Schritt 8.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{4 \cdot 187}{4 \cdot 3}$

Schritt 8.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{4 \cdot 187}{4 \cdot 3}$

Schritt 8.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{187}{3}$

Schritt 9

Teile jeden Term durch $\frac{187}{3}$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{4 {(x - \frac{1}{4})}^{2}}{\frac{187}{3}} + \frac{3 {(y + \frac{5}{6})}^{2}}{\frac{187}{3}} = \frac{\frac{187}{3}}{\frac{187}{3}}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - \frac{1}{4})}^{2}}{\frac{187}{12}} + \frac{{(y + \frac{5}{6})}^{2}}{\frac{187}{9}} = 1$