Elementarmathematik Beispiele

$\ln (\frac{3 e^{5 x - 7} {(3 x + 1)}^{4}}{(x - 2) \sqrt[3]{x}})$

Schritt 1

Schreibe $\ln (\frac{3 e^{5 x - 7} {(3 x + 1)}^{4}}{(x - 2) \sqrt[3]{x}})$ als $\ln (3 e^{5 x - 7} {(3 x + 1)}^{4}) - \ln ((x - 2) \sqrt[3]{x})$ um.

$\ln (3 e^{5 x - 7} {(3 x + 1)}^{4}) - \ln ((x - 2) \sqrt[3]{x})$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\ln (3 e^{5 x - 7} {(3 x + 1)}^{4}) - \ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (3 e^{5 x - 7} {(3 x + 1)}^{4})$ als $\ln (3 e^{5 x - 7}) + \ln ({(3 x + 1)}^{4})$ um.

$\ln (3 e^{5 x - 7}) + \ln ({(3 x + 1)}^{4}) - \ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 4

Schreibe $\ln (3 e^{5 x - 7})$ als $\ln (3) + \ln (e^{5 x - 7})$ um.

$\ln (3) + \ln (e^{5 x - 7}) + \ln ({(3 x + 1)}^{4}) - \ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5

Zerlege $\ln (e^{5 x - 7})$ durch Herausziehen von $5 x - 7$ aus dem Logarithmus.

$\ln (3) + (5 x - 7) \ln (e) + \ln ({(3 x + 1)}^{4}) - \ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6

Zerlege $\ln ({(3 x + 1)}^{4})$ durch Herausziehen von $4$ aus dem Logarithmus.

$\ln (3) + (5 x - 7) \ln (e) + 4 \ln (3 x + 1) - \ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 7

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (3) + (5 x - 7) \cdot 1 + 4 \ln (3 x + 1) - \ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 8

Mutltipliziere $5 x - 7$ mit $1$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - \ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 9

Schreibe $\ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$ als $\ln (x - 2) + \ln (x^{\frac{1}{3}})$ um.

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (x - 2) + \ln (x^{\frac{1}{3}}))$

Schritt 10

Zerlege $\ln (x^{\frac{1}{3}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{3}$ aus dem Logarithmus.

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (x - 2) + \frac{1}{3} \ln (x))$

Schritt 11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (x)$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (x - 2) + \frac{\ln (x)}{3})$

Schritt 11.2

Um $\ln (x - 2)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (x - 2) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\ln (x)}{3})$

Schritt 11.3

Kombiniere $\ln (x - 2)$ und $\frac{3}{3}$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - (\frac{\ln (x - 2) \cdot 3}{3} + \frac{\ln (x)}{3})$

Schritt 11.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - \frac{\ln (x - 2) \cdot 3 + \ln (x)}{3}$

Schritt 11.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\ln (x - 2)$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - \frac{3 \ln (x - 2) + \ln (x)}{3}$

Schritt 12

Um $4 \ln (3 x + 1)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) \cdot \frac{3}{3} - \frac{3 \ln (x - 2) + \ln (x)}{3}$

Schritt 13

Kombiniere $4 \ln (3 x + 1)$ und $\frac{3}{3}$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + \frac{4 \ln (3 x + 1) \cdot 3}{3} - \frac{3 \ln (x - 2) + \ln (x)}{3}$

Schritt 14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (3) + 5 x - 7 + \frac{4 \ln (3 x + 1) \cdot 3 - (3 \ln (x - 2) + \ln (x))}{3}$

Schritt 15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + \frac{12 \ln (3 x + 1) - (3 \ln (x - 2) + \ln (x))}{3}$

Schritt 15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (3) + 5 x - 7 + \frac{12 \ln (3 x + 1) - (3 \ln (x - 2)) - \ln (x)}{3}$

Schritt 15.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + \frac{12 \ln (3 x + 1) - 3 \ln (x - 2) - \ln (x)}{3}$