Elementarmathematik Beispiele

$\ln (11^{3} \sqrt{7 \cdot 12})$

Schritt 1

Schreibe $\ln (11^{3} \sqrt{7 \cdot 12})$ als $\ln (11^{3}) + \ln (\sqrt{7 \cdot 12})$ um.

$\ln (11^{3}) + \ln (\sqrt{7 \cdot 12})$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 \cdot 12}$ als ${(7 \cdot 12)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (11^{3}) + \ln ({(7 \cdot 12)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (11^{3})$ durch Herausziehen von $3$ aus dem Logarithmus.

$3 \ln (11) + \ln ({(7 \cdot 12)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4

Zerlege $\ln ({(7 \cdot 12)}^{\frac{1}{2}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{2}$ aus dem Logarithmus.

$3 \ln (11) + \frac{1}{2} \ln (7 \cdot 12)$

Schritt 5

Mutltipliziere $7$ mit $12$ .

$3 \ln (11) + \frac{1}{2} \ln (84)$

Schritt 6

Schreibe $\ln (84)$ als $\ln (2^{2} \cdot 3 \cdot 7)$ um.

$3 \ln (11) + \frac{1}{2} \ln (2^{2} \cdot 3 \cdot 7)$

Schritt 7

Schreibe $\ln (2^{2} \cdot 3 \cdot 7)$ als $\ln (2^{2} \cdot 3) + \ln (7)$ um.

$3 \ln (11) + \frac{1}{2} (\ln (2^{2} \cdot 3) + \ln (7))$

Schritt 8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$3 \ln (11) + \frac{1}{2} (\ln (4 \cdot 3) + \ln (7))$

Schritt 9

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$3 \ln (11) + \frac{1}{2} (\ln (12) + \ln (7))$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1

Schreibe $\ln (12)$ als $\ln (2^{2} \cdot 3)$ um.

$3 \ln (11) + \frac{1}{2} (\ln (2^{2} \cdot 3) + \ln (7))$

Schritt 10.2

Schreibe $\ln (2^{2} \cdot 3)$ als $\ln (2^{2}) + \ln (3)$ um.

$3 \ln (11) + \frac{1}{2} (\ln (2^{2}) + \ln (3) + \ln (7))$

Schritt 10.3

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$3 \ln (11) + \frac{1}{2} (2 \ln (2) + \ln (3) + \ln (7))$

Schritt 11

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \ln (11) + \frac{1}{2} (2 \ln (2)) + \frac{1}{2} \ln (3) + \frac{1}{2} \ln (7)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \ln (2)$ heraus.

$3 \ln (11) + \frac{1}{2} (2 (\ln (2))) + \frac{1}{2} \ln (3) + \frac{1}{2} \ln (7)$

Schritt 12.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \ln (11) + \frac{1}{2} (2 \ln (2)) + \frac{1}{2} \ln (3) + \frac{1}{2} \ln (7)$

Schritt 12.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \ln (11) + \ln (2) + \frac{1}{2} \ln (3) + \frac{1}{2} \ln (7)$

Schritt 12.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (3)$ .

$3 \ln (11) + \ln (2) + \frac{\ln (3)}{2} + \frac{1}{2} \ln (7)$

Schritt 12.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (7)$ .

$3 \ln (11) + \ln (2) + \frac{\ln (3)}{2} + \frac{\ln (7)}{2}$