Elementarmathematik Beispiele

$\ln (\frac{100 x^{5} \sqrt[3]{5 - x}}{3 {(x + 4)}^{2}})$

Schritt 1

Schreibe $\ln (\frac{100 x^{5} \sqrt[3]{5 - x}}{3 {(x + 4)}^{2}})$ als $\ln (100 x^{5} \sqrt[3]{5 - x}) - \ln (3 {(x + 4)}^{2})$ um.

$\ln (100 x^{5} \sqrt[3]{5 - x}) - \ln (3 {(x + 4)}^{2})$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{5 - x}$ als ${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\ln (100 x^{5} {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \ln (3 {(x + 4)}^{2})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (100 x^{5} {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})$ als $\ln (100 x^{5}) + \ln ({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})$ um.

$\ln (100 x^{5}) + \ln ({(5 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \ln (3 {(x + 4)}^{2})$

Schritt 4

Schreibe $\ln (100 x^{5})$ als $\ln (100) + \ln (x^{5})$ um.

$\ln (100) + \ln (x^{5}) + \ln ({(5 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \ln (3 {(x + 4)}^{2})$

Schritt 5

Zerlege $\ln (x^{5})$ durch Herausziehen von $5$ aus dem Logarithmus.

$\ln (100) + 5 \ln (x) + \ln ({(5 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \ln (3 {(x + 4)}^{2})$

Schritt 6

Zerlege $\ln ({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{3}$ aus dem Logarithmus.

$\ln (100) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - \ln (3 {(x + 4)}^{2})$

Schritt 7

Schreibe $\ln (3 {(x + 4)}^{2})$ als $\ln (3) + \ln ({(x + 4)}^{2})$ um.

$\ln (100) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (3) + \ln ({(x + 4)}^{2}))$

Schritt 8

Zerlege $\ln ({(x + 4)}^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\ln (100) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (3) + 2 \ln (x + 4))$

Schritt 9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1

Schreibe $\ln (100)$ als $\ln (2^{2} \cdot 5^{2})$ um.

$\ln (2^{2} \cdot 5^{2}) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (3) + 2 \ln (x + 4))$

Schritt 9.2

Schreibe $\ln (2^{2} \cdot 5^{2})$ als $\ln (2^{2}) + \ln (5^{2})$ um.

$\ln (2^{2}) + \ln (5^{2}) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (3) + 2 \ln (x + 4))$

Schritt 9.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.1

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$2 \ln (2) + \ln (5^{2}) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (3) + 2 \ln (x + 4))$

Schritt 9.3.2

Zerlege $\ln (5^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$2 \ln (2) + 2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (3) + 2 \ln (x + 4))$

Schritt 9.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (5 - x)$ .

$2 \ln (2) + 2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{\ln (5 - x)}{3} - (\ln (3) + 2 \ln (x + 4))$

Schritt 9.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \ln (2) + 2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{\ln (5 - x)}{3} - \ln (3) - (2 \ln (x + 4))$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \ln (2) + 2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{\ln (5 - x)}{3} - \ln (3) - 2 \ln (x + 4)$

Schritt 10

Um $2 \ln (2)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + 2 \ln (2) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\ln (5 - x)}{3} - \ln (3) - 2 \ln (x + 4)$

Schritt 11

Kombiniere $2 \ln (2)$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{2 \ln (2) \cdot 3}{3} + \frac{\ln (5 - x)}{3} - \ln (3) - 2 \ln (x + 4)$

Schritt 12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{2 \ln (2) \cdot 3 + \ln (5 - x)}{3} - \ln (3) - 2 \ln (x + 4)$

Schritt 13

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{6 \ln (2) + \ln (5 - x)}{3} - \ln (3) - 2 \ln (x + 4)$

Schritt 14

Um $- 2 \ln (x + 4)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{6 \ln (2) + \ln (5 - x)}{3} - 2 \ln (x + 4) \cdot \frac{3}{3} - \ln (3)$

Schritt 15

Kombiniere $- 2 \ln (x + 4)$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{6 \ln (2) + \ln (5 - x)}{3} + \frac{- 2 \ln (x + 4) \cdot 3}{3} - \ln (3)$

Schritt 16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{6 \ln (2) + \ln (5 - x) - 2 \ln (x + 4) \cdot 3}{3} - \ln (3)$

Schritt 17

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{6 \ln (2) + \ln (5 - x) - 6 \ln (x + 4)}{3} - \ln (3)$