Elementarmathematik Beispiele

$(\sqrt{8}, 2)$ , $(\sqrt{2}, - 2)$

Schritt 1

Ermittle die Steigung der Geraden zwischen $(\sqrt{8}, 2)$ und $(\sqrt{2}, - 2)$ unter Anwendung von $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ , was die Änderung von $y$ über der Änderung von $x$ darstellt.

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Schritt 1.1

Die Steigung ist gleich der Änderung von $y$ dividiert durch die Änderung von $x$ .

$m = \frac{Änderung in y}{Änderung in x}$

Schritt 1.2

Die Änderung von $x$ ist gleich der Differenz zwischen den x-Koordinaten und die Änderung von $y$ ist gleich der Differenz zwischen den y-Koordinaten.

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Schritt 1.3

Setze die Werte von $x$ und $y$ in die Gleichung ein, um die Steigung zu ermitteln.

$m = \frac{- 2 - (2)}{\sqrt{2} - (\sqrt{8})}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$m = \frac{- 2 - 2}{\sqrt{2} - \sqrt{8}}$

Schritt 1.4.1.2

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$m = \frac{- 4}{\sqrt{2} - \sqrt{8}}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.2.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.4.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$m = \frac{- 4}{\sqrt{2} - \sqrt{4 (2)}}$

Schritt 1.4.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$m = \frac{- 4}{\sqrt{2} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$m = \frac{- 4}{\sqrt{2} - (2 \sqrt{2})}$

Schritt 1.4.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$m = \frac{- 4}{\sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 1.4.2.4

Subtrahiere $2 \sqrt{2}$ von $\sqrt{2}$ .

$m = \frac{- 4}{- \sqrt{2}}$

Schritt 1.4.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$m = \frac{4}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.4.4

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$m = \frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 1.4.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 1.4.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 1.4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 1.4.5.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$m = \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$m = \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Schritt 1.4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$m = \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 1.4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m = \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$m = \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Schritt 1.4.6.2.4

Dividiere $2 \sqrt{2}$ durch $1$ .

$m = 2 \sqrt{2}$

Schritt 2

Benutze die Steigung $2 \sqrt{2}$ und einen gegebenen Punkt $(\sqrt{8}, 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (2) = 2 \sqrt{2} \cdot (x - (\sqrt{8}))$

Schritt 3

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 2 = 2 \sqrt{2} \cdot (x - 2 \sqrt{2})$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache $2 \sqrt{2} \cdot (x - 2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$y - 2 = 0 + 0 + 2 \sqrt{2} \cdot (x - 2 \sqrt{2})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 2 = 2 \sqrt{2} \cdot (x - 2 \sqrt{2})$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x + 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})$

Schritt 4.1.4

Multipliziere $2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Schritt 4.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Schritt 4.1.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Schritt 4.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Schritt 4.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.1.5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 4.1.5.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 4.1.5.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.1.5.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.5.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.1.5.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 \cdot 2^{1}$

Schritt 4.1.5.1.5

Berechne den Exponenten.

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 4 \cdot 2$

Schritt 4.1.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{2} x - 8$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2 \sqrt{2} x - 8 + 2$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 8$ und $2$ .

$y = 2 \sqrt{2} x - 6$

Schritt 5

Notiere die Gleichung in verschiedenen Formen.

Normalform:

$y = 2 \sqrt{2} x - 6$

Punkt-Steigungs-Form:

$y - 2 = 2 \sqrt{2} \cdot (x - 2 \sqrt{2})$

Schritt 6