Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x + 2}{x - 3}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y + 2}{y - 3}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere die Gleichung mit $y - 3$ .

$(y - 3) (x) = (\frac{y + 2}{y - 3}) (y - 3)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y x - 3 x = (\frac{y + 2}{y - 3}) (y - 3)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y x - 3 x = \frac{y + 2}{y - 3} (y - 3)$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y x - 3 x = y + 2$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x - 3 x - y = 2$

Schritt 2.4.2

Addiere $3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x - y = 2 + 3 x$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y x - y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$y (x) - y = 2 + 3 x$

Schritt 2.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y (x) + y \cdot - 1 = 2 + 3 x$

Schritt 2.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x) + y \cdot - 1$ heraus.

$y (x - 1) = 2 + 3 x$

Schritt 2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = 2 + 3 x$ durch $x - 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = 2 + 3 x$ durch $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

Schritt 2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

Schritt 2.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

Schritt 2.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3})}{(\frac{x + 2}{x - 3}) - 1}$

Schritt 4.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 + 3 \frac{x + 2}{x - 3}}{\frac{x + 2}{x - 3} - 1}$ mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{x - 3}{x - 3} \cdot \frac{2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3})}{\frac{x + 2}{x - 3} - 1}$

Schritt 4.2.3.2

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 2}{x - 3} - 1)}$

Schritt 4.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 2}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 2}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) \cdot 3 \frac{x + 2}{x - 3}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.1.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $(x - 3) \cdot 2$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2) + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.6.1.2

Faktorisiere $x - 3$ aus $(x - 3) (2) + (x - 3) (3 \frac{x + 2}{x - 3})$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.6.2

Kombiniere $3$ und $\frac{x + 2}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2 + \frac{3 (x + 2)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.6.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{2 (x - 3)}{x - 3} + \frac{3 (x + 2)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{2 (x - 3) + 3 (x + 2)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.6.5

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 (x + 2) + 2 (x - 3)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.6.6

Schreibe $\frac{3 (x + 2) + 2 (x - 3)}{x - 3}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 3 \cdot 2 + 2 (x - 3)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.6.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 6 + 2 (x - 3)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.6.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 6 + 2 x + 2 \cdot - 3}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.6.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 6 + 2 x - 6}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.6.6.5

Addiere $3 x$ und $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x + 6 - 6}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.6.6.6

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x + 0}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.6.6.7

Addiere $5 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.7

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}$

Schritt 4.2.7.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 - 1 \cdot x - 3 \cdot - 1}$

Schritt 4.2.7.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 - 1 \cdot x + 3}$

Schritt 4.2.7.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 - x + 3}$

Schritt 4.2.7.5

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{0 + 2 + 3}$

Schritt 4.2.7.6

Addiere $0$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{2 + 3}$

Schritt 4.2.7.7

Addiere $2$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{5}$

Schritt 4.2.8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.8.1

Faktorisiere $\frac{5 x}{x - 3}$ aus $\frac{(x - 3) \frac{5 x}{x - 3}}{5}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{5 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{5}$

Schritt 4.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.8.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{5 (x)}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{5}$

Schritt 4.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{5 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{5}$

Schritt 4.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Schritt 4.2.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Schritt 4.2.8.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{2 + 3 x}{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + 2}{(\frac{2 + 3 x}{x - 1}) - 3}$

Schritt 4.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{2 + 3 x}{x - 1} + 2}{\frac{2 + 3 x}{x - 1} - 3}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{2 + 3 x}{x - 1} + 2}{\frac{2 + 3 x}{x - 1} - 3}$

Schritt 4.3.3.2

Kombinieren.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1} + 2)}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

Schritt 4.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache durch Kürzen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Schritt 4.3.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Schritt 4.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Schritt 4.3.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + (x - 1) \cdot 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Schritt 4.3.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Schritt 4.3.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + 2 \cdot x - 1 \cdot 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Schritt 4.3.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + 2 \cdot x - 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Schritt 4.3.6.4

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{3 x + 2 x + 0}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Schritt 4.3.6.5

Addiere $3 x + 2 x$ und $0$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{3 x + 2 x}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Schritt 4.3.6.6

Addiere $3 x$ und $2 x$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Schritt 4.3.7

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3}$

Schritt 4.3.7.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x - 3 \cdot x - 1 \cdot - 3}$

Schritt 4.3.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x - 3 \cdot x + 3}$

Schritt 4.3.7.4

Addiere $2$ und $3$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 x - 3 x + 5}$

Schritt 4.3.7.5

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{0 + 5}$

Schritt 4.3.7.6

Addiere $0$ und $5$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 4.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 4.3.8.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$