Elementarmathematik Beispiele

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$

Schritt 1

Dies ist eine geometrische Folge, da es zwischen aufeinanderfolgenden Termen ein gemeinsames Verhältnis gibt. In diesem Fall ergibt die Multiplikation des vorhergehenden Terms in der Folge mit $\frac{1}{2}$ den nächsten Term. Mit anderen Worten: $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Geometrische Folge: $r = \frac{1}{2}$

Schritt 2

Dies ist die Form einer geometrischen Folge.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Schritt 3

Setze die Werte von $a_{1} = 1$ und $r = \frac{1}{2}$ ein.

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Schritt 4

Mutltipliziere ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ mit $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Schritt 5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Schritt 6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$a_{n} = \frac{1}{2^{n - 1}}$

Schritt 7

Dies ist die Formel zur Berechnung der Summe der ersten $n$ Terme der geometrischen Folge. Ermittle die Werte von $r$ und $a_{1}$ , um sie auszuwerten.

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Schritt 8

Ersetze die Variablen durch die bekannten Werte, um $S_{7}$ zu ermitteln.

$S_{7} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$ mit $1$ .

$S_{7} = \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 10

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$S_{7} = \frac{2}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 10.2

Kombinieren.

$S_{7} = \frac{2 ({(\frac{1}{2})}^{7} - 1)}{2 (\frac{1}{2} - 1)}$

Schritt 11

Wende das Distributivgesetz an.

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

Schritt 12.2

Forme den Ausdruck um.

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2^{7}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{7}$ heraus.

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2 \cdot 2^{6}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2 \cdot 2^{6}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{7} = \frac{\frac{1^{7}}{2^{6}} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 13.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$S_{7} = \frac{\frac{1}{2^{6}} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 13.4

Potenziere $2$ mit $6$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 13.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} - 2}{1 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 13.6

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{64}{64}$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} - 2 \cdot \frac{64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 13.7

Kombiniere $- 2$ und $\frac{64}{64}$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} + \frac{- 2 \cdot 64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 13.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{7} = \frac{\frac{1 - 2 \cdot 64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 13.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.9.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $64$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1 - 128}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 13.9.2

Subtrahiere $128$ von $1$ .

$S_{7} = \frac{\frac{- 127}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 13.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 14

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{1 - 2}$

Schritt 14.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{- 1}$

Schritt 15

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$S_{7} = \frac{\frac{127}{64}}{1}$

Schritt 15.2

Dividiere $\frac{127}{64}$ durch $1$ .

$S_{7} = \frac{127}{64}$