Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 4 x + 12 y + 1 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 4 x + 12 y = - 1$

Schritt 2

Teile beide Seiten der Gleichung durch $4$ .

$x^{2} + y^{2} - x + 3 y = - \frac{1}{4}$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - x$ an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1$ und $1$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2}$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ ein.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Schritt 4

Setze ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ für $x^{2} - x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - x + 3 y = - \frac{1}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} + 3 y = - \frac{1}{4}$

Schritt 5

Bringe $- \frac{1}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} + 3 y = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 6

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + 3 y$ an.

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Schritt 6.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 3$

$c = 0$

Schritt 6.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 6.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 6.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{3}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = \frac{3}{2}$

Schritt 6.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 6.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{3^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{9}{4}$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere $\frac{9}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{9}{4}$

Schritt 6.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ ein.

${(y + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Schritt 7

Setze ${(y + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ für $y^{2} + 3 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - x + 3 y = - \frac{1}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 8

Bringe $- \frac{9}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{9}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 9

Vereinfache $- \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4}$ .

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Schritt 9.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 1 + 1 + 9}{4}$

Schritt 9.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 9.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{0 + 9}{4}$

Schritt 9.2.2

Addiere $0$ und $9$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}$

Schritt 10

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 11

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = \frac{3}{2}$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{3}{2}$

Schritt 12

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$

Schritt 13

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$

Radius: $\frac{3}{2}$

Schritt 14