Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{3} \cdot \log ({(x + 2)}^{3}) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log ({(x^{2} - x - 6)}^{2}))$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{1}{3} \log ({(x + 2)}^{3})$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$\log ({({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log ({(x^{2} - x - 6)}^{2}))$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log ({(x + 2)}^{3 (\frac{1}{3})}) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log ({(x^{2} - x - 6)}^{2}))$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log ({(x + 2)}^{3 (\frac{1}{3})}) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log ({(x^{2} - x - 6)}^{2}))$

Schritt 1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\log ({(x + 2)}^{1}) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log ({(x^{2} - x - 6)}^{2}))$

Schritt 1.3

Vereinfache.

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log ({(x^{2} - x - 6)}^{2}))$

Schritt 1.4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}})$

Schritt 1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.5.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 1.5.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{{((x - 3) (x + 2))}^{2}})$

Schritt 1.5.2

Wende die Produktregel auf $(x - 3) (x + 2)$ an.

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{{(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2}})$

Schritt 1.6

Vereinfache $\frac{1}{2} \log (\frac{x^{4}}{{(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2}})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (x + 2) + \log ({(\frac{x^{4}}{{(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.7.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{4}}{{(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$ an.

$\log (x + 2) + \log (\frac{{(x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.7.2

Wende die Produktregel auf ${(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2}$ an.

$\log (x + 2) + \log (\frac{{(x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.8

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{4 (\frac{1}{2})}}{{({(x - 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2 (2) \frac{1}{2}}}{{({(x - 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}{{({(x - 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2}}{{({(x - 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.9.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.9.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2}}{{(x - 3)}^{2 (\frac{1}{2})} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.9.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.9.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2}}{{(x - 3)}^{2 (\frac{1}{2})} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.9.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2}}{{(x - 3)}^{1} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.9.2

Vereinfache.

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2}}{(x - 3) {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.9.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.9.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2}}{(x - 3) {(x + 2)}^{2 (\frac{1}{2})}})$

Schritt 1.9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.9.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2}}{(x - 3) {(x + 2)}^{2 (\frac{1}{2})}})$

Schritt 1.9.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2}}{(x - 3) {(x + 2)}^{1}})$

Schritt 1.9.4

Vereinfache.

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2}}{(x - 3) (x + 2)})$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 2) \frac{x^{2}}{(x - 3) (x + 2)})$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x - 3) (x + 2)$ heraus.

$\log ((x + 2) \frac{x^{2}}{(x + 2) (x - 3)})$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log ((x + 2) \frac{x^{2}}{(x + 2) (x - 3)})$

Schritt 3.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{x^{2}}{x - 3})$