Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} = 1 - 3 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Addiere $3 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} + 3 x^{2} = 1$

Schritt 1.1.2

Stelle $y^{2}$ und $3 x^{2}$ um.

$3 x^{2} + y^{2} = 1$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{3}} + y^{2} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 1$

$b = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$\sqrt{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 5.3.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

Schritt 5.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Schritt 5.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{1 - \frac{3^{1}}{3^{2}}}$

Schritt 5.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{1 - \frac{3}{3^{2}}}$

Schritt 5.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{3}{9}}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\sqrt{1 - \frac{3 (1)}{9}}$

Schritt 5.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\sqrt{1 - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Schritt 5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{1 - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Schritt 5.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{1 - \frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{3 - 1}{3}}$

Schritt 5.3.5.3

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.3.6

Schreibe $\sqrt{\frac{2}{3}}$ als $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ um.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.3.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.3.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 5.3.8.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 5.3.8.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 5.3.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.3.8.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.3.8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 5.3.8.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Schritt 5.3.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 + 1)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(0, 1)$

Schritt 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 - (1))$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(0, - 1)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 + \frac{\sqrt{6}}{3})$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$(0, \frac{\sqrt{6}}{3})$

Schritt 7.4

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 - (\frac{\sqrt{6}}{3}))$

Schritt 7.6

Vereinfache.

$(0, - \frac{\sqrt{6}}{3})$

Schritt 7.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{6}}{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{6}}{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{6}}{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{6}}{3})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}}{1}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.1.1

Dividiere $\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$ durch $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

Schritt 8.3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

Schritt 8.3.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$\sqrt{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 8.3.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 8.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

Schritt 8.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Schritt 8.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Schritt 8.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{1 - \frac{3^{1}}{3^{2}}}$

Schritt 8.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{1 - \frac{3}{3^{2}}}$

Schritt 8.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{3}{9}}$

Schritt 8.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 8.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\sqrt{1 - \frac{3 (1)}{9}}$

Schritt 8.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\sqrt{1 - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Schritt 8.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{1 - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Schritt 8.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{1 - \frac{1}{3}}$

Schritt 8.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Schritt 8.3.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{3 - 1}{3}}$

Schritt 8.3.5.3

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.3.6

Schreibe $\sqrt{\frac{2}{3}}$ als $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ um.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.8.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.8.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 8.3.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 8.3.8.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.3.8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 8.3.8.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 8.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Schritt 8.3.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{6}}{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{6}}{3})$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 10