Elementarmathematik Beispiele

${(x + 2)}^{2} = 8 (y + 4)$

Schritt 1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $8 (y + 4) = {(x + 2)}^{2}$ um.

$8 (y + 4) = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $8 (y + 4) = {(x + 2)}^{2}$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 (y + 4) = {(x + 2)}^{2}$ durch $8$ .

$\frac{8 (y + 4)}{8} = \frac{{(x + 2)}^{2}}{8}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 (y + 4)}{8} = \frac{{(x + 2)}^{2}}{8}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y + 4$ durch $1$ .

$y + 4 = \frac{{(x + 2)}^{2}}{8}$

Schritt 1.3

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{{(x + 2)}^{2}}{8} - 4$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{8} \cdot {(x + 2)}^{2} - 4$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{8}$

$h = - 2$

$k = - 4$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 2, - 4)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \cdot 2$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2, - 2)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 2$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - 6$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 2, - 4)$

Brennpunkt: $(- 2, - 2)$

Symmetrieachse: $x = - 2$

Leitlinie: $y = - 6$

Schritt 10