Elementarmathematik Beispiele

${(4 x + 3 y)}^{4}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(4 x)}^{4 - k} \cdot {(3 y)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(4 x)}^{4 - 0} \cdot {(3 y)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(4 x)}^{4 - 1} \cdot {(3 y)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(4 x)}^{4 - 2} \cdot {(3 y)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(4 x)}^{4 - 3} \cdot {(3 y)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(4 x)}^{4 - 4} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(4 x)}^{4} \cdot {(3 y)}^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(4 x)}^{4}$ mit $1$ .

${(4 x)}^{4} \cdot {(3 y)}^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$4^{4} x^{4} \cdot {(3 y)}^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.3

Potenziere $4$ mit $4$ .

$256 x^{4} \cdot {(3 y)}^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $3 y$ an.

$256 x^{4} \cdot (3^{0} y^{0}) + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$256 \cdot 3^{0} x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$256 \cdot 1 x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $256$ mit $1$ .

$256 x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$256 x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $256$ mit $1$ .

$256 x^{4} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.10

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$256 x^{4} + 4 \cdot (4^{3} x^{3}) \cdot {(3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.11

Multipliziere $4$ mit $4^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.11.1

Bewege $4^{3}$ .

$256 x^{4} + 4^{3} \cdot 4 \cdot x^{3} \cdot {(3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.11.2

Mutltipliziere $4^{3}$ mit $4$ .

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Schritt 4.11.2.1

Potenziere $4$ mit $1$ .

$256 x^{4} + 4^{3} \cdot 4^{1} \cdot x^{3} \cdot {(3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$256 x^{4} + 4^{3 + 1} \cdot x^{3} \cdot {(3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.11.3

Addiere $3$ und $1$ .

$256 x^{4} + 4^{4} \cdot x^{3} \cdot {(3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.12

Vereinfache $4^{4} \cdot x^{3} \cdot {(3 y)}^{1}$ .

$256 x^{4} + 4^{4} \cdot x^{3} \cdot (3 y) + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.13

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$256 x^{4} + 4^{4} \cdot 3 x^{3} y + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.14

Potenziere $4$ mit $4$ .

$256 x^{4} + 256 \cdot 3 x^{3} y + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $256$ mit $3$ .

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.16

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 6 \cdot (4^{2} x^{2}) \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.17

Potenziere $4$ mit $2$ .

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 6 \cdot (16 x^{2}) \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.18

Mutltipliziere $16$ mit $6$ .

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 96 x^{2} \cdot {(3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.19

Wende die Produktregel auf $3 y$ an.

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 96 x^{2} \cdot (3^{2} y^{2}) + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.20

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 96 \cdot 3^{2} x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.21

Potenziere $3$ mit $2$ .

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 96 \cdot 9 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.22

Mutltipliziere $96$ mit $9$ .

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.23

Vereinfache.

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 4 \cdot (4 x) \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.24

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 16 x \cdot {(3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.25

Wende die Produktregel auf $3 y$ an.

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 16 x \cdot (3^{3} y^{3}) + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.26

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 16 \cdot 3^{3} x y^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.27

Potenziere $3$ mit $3$ .

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 16 \cdot 27 x y^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.28

Mutltipliziere $16$ mit $27$ .

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 432 x y^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.29

Mutltipliziere ${(4 x)}^{0}$ mit $1$ .

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 432 x y^{3} + {(4 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.30

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 432 x y^{3} + 4^{0} x^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.31

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 432 x y^{3} + 1 x^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.32

Mutltipliziere $x^{0}$ mit $1$ .

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 432 x y^{3} + x^{0} \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.33

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 432 x y^{3} + 1 \cdot {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.34

Mutltipliziere ${(3 y)}^{4}$ mit $1$ .

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 432 x y^{3} + {(3 y)}^{4}$

Schritt 4.35

Wende die Produktregel auf $3 y$ an.

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 432 x y^{3} + 3^{4} y^{4}$

Schritt 4.36

Potenziere $3$ mit $4$ .

$256 x^{4} + 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 432 x y^{3} + 81 y^{4}$