Elementarmathematik Beispiele

$y = (x + 2) (x - 3)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $(x + 2) (x - 3)$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Multipliziere $(x + 2) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 3) + 2 (x - 3)$

Schritt 1.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (x - 3)$

Schritt 1.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3$

Schritt 1.1.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3$

Schritt 1.1.1.2.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 3$

Schritt 1.1.1.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6$

Schritt 1.1.1.2.2

Addiere $- 3 x$ und $2 x$ .

$x^{2} - x - 6$

Schritt 1.1.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 1$

$c = - 6$

Schritt 1.1.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1$ und $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.1.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 6 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4}$

Schritt 1.1.5.2.2

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$e = - 6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 1.1.5.2.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 6 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 1.1.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 6 \cdot 4 - 1}{4}$

Schritt 1.1.5.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.2.5.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$e = \frac{- 24 - 1}{4}$

Schritt 1.1.5.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $- 24$ .

$e = \frac{- 25}{4}$

Schritt 1.1.5.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{25}{4}$

Schritt 1.1.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ ein.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Schritt 1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{25}{4}$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{1}{2}, - 6)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{13}{2}$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Brennpunkt: $(\frac{1}{2}, - 6)$

Symmetrieachse: $x = \frac{1}{2}$

Leitlinie: $y = - \frac{13}{2}$

Schritt 10