Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} - 3 x + 14 y + 55 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x + 14 y + 55 = - y^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Subtrahiere $14 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x + 55 = - y^{2} - 14 y$

Schritt 1.1.1.3

Subtrahiere $55$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x = - y^{2} - 14 y - 55$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = - y^{2} - 14 y - 55$ durch $- 3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = - y^{2} - 14 y - 55$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- y^{2}}{- 3} + \frac{- 14 y}{- 3} + \frac{- 55}{- 3}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- y^{2}}{- 3} + \frac{- 14 y}{- 3} + \frac{- 55}{- 3}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 3} + \frac{- 14 y}{- 3} + \frac{- 55}{- 3}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{y^{2}}{3} + \frac{- 14 y}{- 3} + \frac{- 55}{- 3}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{y^{2}}{3} + \frac{14 y}{3} + \frac{- 55}{- 3}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{y^{2}}{3} + \frac{14 y}{3} + \frac{55}{3}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{y^{2}}{3} + \frac{14 y}{3} + \frac{55}{3}$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{3}$

$b = \frac{14}{3}$

$c = \frac{55}{3}$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{14}{3}}{2 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{14}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$d = \frac{2 (7)}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 7}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $\frac{7}{3}$ mit $\frac{1}{\frac{1}{3}}$ .

$d = \frac{7}{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.3.2.4

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$d = \frac{7}{\frac{3}{3}}$

Schritt 1.2.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{7}{\frac{3}{3}}$

Schritt 1.2.3.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{7}{1}$

Schritt 1.2.3.2.6

Dividiere $7$ durch $1$ .

$d = 7$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{55}{3} - \frac{{(\frac{14}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{14}{3}$ an.

$e = \frac{55}{3} - \frac{\frac{14^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Potenziere $14$ mit $2$ .

$e = \frac{55}{3} - \frac{\frac{196}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = \frac{55}{3} - \frac{\frac{196}{9}}{4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{55}{3} - \frac{\frac{196}{9}}{\frac{4}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{55}{3} - (\frac{196}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $196$ heraus.

$e = \frac{55}{3} - (\frac{4 (49)}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Schritt 1.2.4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{55}{3} - (\frac{4 \cdot 49}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Schritt 1.2.4.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{55}{3} - (\frac{49}{9} \cdot 3)$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$e = \frac{55}{3} - (\frac{49}{3 (3)} \cdot 3)$

Schritt 1.2.4.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{55}{3} - (\frac{49}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Schritt 1.2.4.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{55}{3} - \frac{49}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{55 - 49}{3}$

Schritt 1.2.4.2.3

Subtrahiere $49$ von $55$ .

$e = \frac{6}{3}$

Schritt 1.2.4.2.4

Dividiere $6$ durch $3$ .

$e = 2$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{3} {(y + 7)}^{2} + 2$ ein.

$\frac{1}{3} {(y + 7)}^{2} + 2$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{3} \cdot {(y + 7)}^{2} + 2$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{3}$

$h = 2$

$k = - 7$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(2, - 7)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 (\frac{3}{4})$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $1$ .

$\frac{3}{4}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{11}{4}, - 7)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = - 7$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = \frac{5}{4}$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(2, - 7)$

Brennpunkt: $(\frac{11}{4}, - 7)$

Symmetrieachse: $y = - 7$

Leitlinie: $x = \frac{5}{4}$

Schritt 10