Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{2} + 4 y^{2} + 8 x - y = 0$

Schritt 1

Teile beide Seiten der Gleichung durch $4$ .

$x^{2} + y^{2} + 2 x - \frac{y}{4} = 0$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + 2 x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 2.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 2.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 0 - 1$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$e = - 1$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + 1)}^{2} - 1$ ein.

${(x + 1)}^{2} - 1$

Schritt 3

Setze ${(x + 1)}^{2} - 1$ für $x^{2} + 2 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} + 2 x - \frac{y}{4} = 0$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 + y^{2} - \frac{y}{4} = 0$

Schritt 4

Bringe $- 1$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1$ auf beiden Seiten.

${(x + 1)}^{2} + y^{2} - \frac{y}{4} = 0 + 1$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - \frac{y}{4}$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - \frac{1}{4}$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{1}{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1$ und $1$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$d = \frac{- 1 (1) \frac{1}{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{1}{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- \frac{1}{4}}{2}$

Schritt 5.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.2.3

Multipliziere $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$d = - \frac{1}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$d = - \frac{1}{8}$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- \frac{1}{4})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{1}{4})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$e = 0 - \frac{1 \frac{1^{2}}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 0 - \frac{1 \frac{1}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{1}{16})}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{16}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{16}}{4}$

Schritt 5.4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 5.4.2.1.4

Multipliziere $\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 5.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{1}{16 \cdot 4}$

Schritt 5.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{1}{64}$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{64}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{64}$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - \frac{1}{8})}^{2} - \frac{1}{64}$ ein.

${(y - \frac{1}{8})}^{2} - \frac{1}{64}$

Schritt 6

Setze ${(y - \frac{1}{8})}^{2} - \frac{1}{64}$ für $y^{2} - \frac{y}{4}$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} + 2 x - \frac{y}{4} = 0$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{8})}^{2} - \frac{1}{64} = 0 + 1$

Schritt 7

Bringe $- \frac{1}{64}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{64}$ auf beiden Seiten.

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{8})}^{2} = 0 + 1 + \frac{1}{64}$

Schritt 8

Vereinfache $0 + 1 + \frac{1}{64}$ .

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Schritt 8.1

Addiere $0$ und $1$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{8})}^{2} = 1 + \frac{1}{64}$

Schritt 8.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{8})}^{2} = \frac{64}{64} + \frac{1}{64}$

Schritt 8.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{8})}^{2} = \frac{64 + 1}{64}$

Schritt 8.4

Addiere $64$ und $1$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{8})}^{2} = \frac{65}{64}$

Schritt 9

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 10

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = \frac{\sqrt{65}}{8}$

$h = - 1$

$k = \frac{1}{8}$

Schritt 11

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(- 1, \frac{1}{8})$

Schritt 12

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(- 1, \frac{1}{8})$

Radius: $\frac{\sqrt{65}}{8}$

Schritt 13