Elementarmathematik Beispiele

$(\sqrt{3}, \frac{π}{6})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{3 + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3 + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{3 + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3 + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{6}$ an.

$r = \sqrt{3 + \frac{π^{2}}{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$r = \sqrt{3 + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3 + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{36}{36}$ .

$r = \sqrt{3 \cdot \frac{36}{36} + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Kombiniere $3$ und $\frac{36}{36}$ .

$r = \sqrt{\frac{3 \cdot 36}{36} + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r = \sqrt{\frac{3 \cdot 36 + π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $36$ .

$r = \sqrt{\frac{108 + π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{108 + π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6

Schreibe $\sqrt{\frac{108 + π^{2}}{36}}$ als $\frac{\sqrt{108 + π^{2}}}{\sqrt{36}}$ um.

$r = \frac{\sqrt{108 + π^{2}}}{\sqrt{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.7.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$r = \frac{\sqrt{108 + π^{2}}}{\sqrt{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = \frac{\sqrt{108 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{108 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{108 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \frac{\sqrt{108 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{π}{6}}{\sqrt{3}})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $\frac{π \sqrt{3}}{18}$ ist $θ = 16.82006135 °$ .

$r = \frac{\sqrt{108 + π^{2}}}{6}$

$θ = 16.82006135 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(\frac{\sqrt{108 + π^{2}}}{6}, 16.82006135 °)$