Elementarmathematik Beispiele

$9 x - y = 0$ , $3 x - y - 4 = 0$

Schritt 1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x - y = 0$

$3 x - y = 4$

Schritt 2

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 9 & - 1 \\ 3 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 4 \end{array}]$

Schritt 3

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 9 & - 1 \\ 3 & - 1 \end{array}]$ .

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Schritt 3.1

Write $[\begin{array}{c} 9 & - 1 \\ 3 & - 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 3.2

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$9 \cdot - 1 - 3 \cdot - 1$

Schritt 3.3

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$- 9 - 3 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- 9 + 3$

Schritt 3.3.2

Addiere $- 9$ und $3$ .

$- 6$

$D = - 6$

Schritt 4

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Schritt 5

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 0 \\ 4 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2

Find the determinant.

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$0 \cdot - 1 - 4 \cdot - 1$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 - 4 \cdot - 1$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$0 + 4$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $0$ und $4$ .

$4$

$D_{x} = 4$

Schritt 5.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 5.4

Substitute $- 6$ for $D$ and $4$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{4}{- 6}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 6$ .

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (2)}{- 6}$

Schritt 5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{- 3}$

Schritt 5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 6

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Schritt 6.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 0 \\ 4 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 9 & 0 \\ 3 & 4 \end{array} |$

Schritt 6.2

Find the determinant.

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Schritt 6.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$9 \cdot 4 - 3 \cdot 0$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$36 - 3 \cdot 0$

Schritt 6.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$36 + 0$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $36$ und $0$ .

$36$

$D_{y} = 36$

Schritt 6.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 6.4

Substitute $- 6$ for $D$ and $36$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{36}{- 6}$

Schritt 6.5

Dividiere $36$ durch $- 6$ .

$y = - 6$

Schritt 7

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = - \frac{2}{3}$

$y = - 6$