Elementarmathematik Beispiele

$6 x - 5 y = - 1$ , $2 y - 2 x = 0$

Schritt 1

Stelle $2 y$ und $- 2 x$ um.

$6 x - 5 y = - 1$

$- 2 x + 2 y = 0$

Schritt 2

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ - 2 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 3

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ - 2 & 2 \end{array}]$ .

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Schritt 3.1

Write $[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ - 2 & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 6 & - 5 \\ - 2 & 2 \end{array} |$

Schritt 3.2

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$6 \cdot 2 - (- 2 \cdot - 5)$

Schritt 3.3

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$12 - (- 2 \cdot - 5)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $- (- 2 \cdot - 5)$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 5$ .

$12 - 1 \cdot 10$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$12 - 10$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $10$ von $12$ .

$2$

$D = 2$

Schritt 4

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Schritt 5

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 1 & - 5 \\ 0 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.2

Find the determinant.

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 1 \cdot 2 + 0 \cdot - 5$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 + 0 \cdot - 5$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 5$ .

$- 2 + 0$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 2$ und $0$ .

$- 2$

$D_{x} = - 2$

Schritt 5.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 5.4

Substitute $2$ for $D$ and $- 2$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 2}{2}$

Schritt 5.5

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$x = - 1$

Schritt 6

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Schritt 6.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 6 & - 1 \\ - 2 & 0 \end{array} |$

Schritt 6.2

Find the determinant.

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Schritt 6.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$6 \cdot 0 - (- 2 \cdot - 1)$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$0 - (- 2 \cdot - 1)$

Schritt 6.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 2 \cdot - 1)$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$0 - 1 \cdot 2$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$0 - 2$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- 2$

$D_{y} = - 2$

Schritt 6.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 6.4

Substitute $2$ for $D$ and $- 2$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 2}{2}$

Schritt 6.5

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$y = - 1$

Schritt 7

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = - 1$

$y = - 1$