Elementarmathematik Beispiele

$2 x + 3 y + z = - 4$ , $x - y - 4 z = 9$ , $- x - 4 y + 9 z = - 29$

Schritt 1

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 2 & 3 & 1 \\ 1 & - 1 & - 4 \\ - 1 & - 4 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ 9 \\ - 29 \end{array}]$

Schritt 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 2 & 3 & 1 \\ 1 & - 1 & - 4 \\ - 1 & - 4 & 9 \end{array}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Write $[\begin{array}{c} 2 & 3 & 1 \\ 1 & - 1 & - 4 \\ - 1 & - 4 & 9 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 & 1 \\ 1 & - 1 & - 4 \\ - 1 & - 4 & 9 \end{array} |$

Schritt 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} |$

Schritt 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} |$

Schritt 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} |$

Schritt 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} |$

Schritt 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.2.9

Add the terms together.

$2 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.3

Berechne $| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 (- 1 \cdot 9 - (- 4 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$2 (- 9 - (- 4 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.3.2.1.2

Multipliziere $- (- 4 \cdot - 4)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$2 (- 9 - 1 \cdot 16) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$2 (- 9 - 16) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $16$ von $- 9$ .

$2 \cdot - 25 - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot - 25 - 3 (1 \cdot 9 - - - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$2 \cdot - 25 - 3 (9 - - - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.4.2.1.2

Multipliziere $- - - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$2 \cdot - 25 - 3 (9 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$2 \cdot - 25 - 3 (9 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$2 \cdot - 25 - 3 \cdot 5 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.5

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$ .

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Schritt 2.5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot - 25 - 3 \cdot 5 + 1 (1 \cdot - 4 - - - 1)$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$2 \cdot - 25 - 3 \cdot 5 + 1 (- 4 - - - 1)$

Schritt 2.5.2.1.2

Multipliziere $- - - 1$ .

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Schritt 2.5.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 \cdot - 25 - 3 \cdot 5 + 1 (- 4 - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.5.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \cdot - 25 - 3 \cdot 5 + 1 (- 4 - 1)$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$2 \cdot - 25 - 3 \cdot 5 + 1 \cdot - 5$

Schritt 2.6

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 25$ .

$- 50 - 3 \cdot 5 + 1 \cdot - 5$

Schritt 2.6.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$- 50 - 15 + 1 \cdot - 5$

Schritt 2.6.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- 50 - 15 - 5$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $15$ von $- 50$ .

$- 65 - 5$

Schritt 2.6.3

Subtrahiere $5$ von $- 65$ .

$- 70$

$D = - 70$

Schritt 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Schritt 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 4 \\ 9 \\ - 29 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 4 & 3 & 1 \\ 9 & - 1 & - 4 \\ - 29 & - 4 & 9 \end{array} |$

Schritt 4.2

Find the determinant.

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Schritt 4.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 4.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 4.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.9

Add the terms together.

$- 4 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Schritt 4.2.2

Berechne $| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 4 (- 1 \cdot 9 - (- 4 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- 4 (- 9 - (- 4 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 4 \cdot - 4)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$- 4 (- 9 - 1 \cdot 16) - 3 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Schritt 4.2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$- 4 (- 9 - 16) - 3 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Schritt 4.2.2.2.2

Subtrahiere $16$ von $- 9$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Schritt 4.2.3

Berechne $| \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 4 \cdot - 25 - 3 (9 \cdot 9 - (- 29 \cdot - 4)) + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 (81 - (- 29 \cdot - 4)) + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Schritt 4.2.3.2.1.2

Multipliziere $- (- 29 \cdot - 4)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 29$ mit $- 4$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 (81 - 1 \cdot 116) + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Schritt 4.2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $116$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 (81 - 116) + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Schritt 4.2.3.2.2

Subtrahiere $116$ von $81$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 \cdot - 35 + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Schritt 4.2.4

Berechne $| \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 4 \cdot - 25 - 3 \cdot - 35 + 1 (9 \cdot - 4 - (- 29 \cdot - 1))$

Schritt 4.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.2.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 4$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 \cdot - 35 + 1 (- 36 - (- 29 \cdot - 1))$

Schritt 4.2.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 29 \cdot - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 29$ mit $- 1$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 \cdot - 35 + 1 (- 36 - 1 \cdot 29)$

Schritt 4.2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $29$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 \cdot - 35 + 1 (- 36 - 29)$

Schritt 4.2.4.2.2

Subtrahiere $29$ von $- 36$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 \cdot - 35 + 1 \cdot - 65$

Schritt 4.2.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 25$ .

$100 - 3 \cdot - 35 + 1 \cdot - 65$

Schritt 4.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 35$ .

$100 + 105 + 1 \cdot - 65$

Schritt 4.2.5.1.3

Mutltipliziere $- 65$ mit $1$ .

$100 + 105 - 65$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $100$ und $105$ .

$205 - 65$

Schritt 4.2.5.3

Subtrahiere $65$ von $205$ .

$140$

$D_{x} = 140$

Schritt 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 4.4

Substitute $- 70$ for $D$ and $140$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{140}{- 70}$

Schritt 4.5

Dividiere $140$ durch $- 70$ .

$x = - 2$

Schritt 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 4 \\ 9 \\ - 29 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & - 4 & 1 \\ 1 & 9 & - 4 \\ - 1 & - 29 & 9 \end{array} |$

Schritt 5.2

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.9

Add the terms together.

$2 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Schritt 5.2.2

Berechne $| \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 (9 \cdot 9 - (- 29 \cdot - 4)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$2 (81 - (- 29 \cdot - 4)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 29 \cdot - 4)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 29$ mit $- 4$ .

$2 (81 - 1 \cdot 116) + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $116$ .

$2 (81 - 116) + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.2

Subtrahiere $116$ von $81$ .

$2 \cdot - 35 + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Schritt 5.2.3

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot - 35 + 4 (1 \cdot 9 - - - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$2 \cdot - 35 + 4 (9 - - - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Multipliziere $- - - 4$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$2 \cdot - 35 + 4 (9 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$2 \cdot - 35 + 4 (9 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.2

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$2 \cdot - 35 + 4 \cdot 5 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Schritt 5.2.4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot - 35 + 4 \cdot 5 + 1 (1 \cdot - 29 - (- 1 \cdot 9))$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 29$ mit $1$ .

$2 \cdot - 35 + 4 \cdot 5 + 1 (- 29 - (- 1 \cdot 9))$

Schritt 5.2.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 1 \cdot 9)$ .

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Schritt 5.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$2 \cdot - 35 + 4 \cdot 5 + 1 (- 29 - - 9)$

Schritt 5.2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$2 \cdot - 35 + 4 \cdot 5 + 1 (- 29 + 9)$

Schritt 5.2.4.2.2

Addiere $- 29$ und $9$ .

$2 \cdot - 35 + 4 \cdot 5 + 1 \cdot - 20$

Schritt 5.2.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 35$ .

$- 70 + 4 \cdot 5 + 1 \cdot - 20$

Schritt 5.2.5.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$- 70 + 20 + 1 \cdot - 20$

Schritt 5.2.5.1.3

Mutltipliziere $- 20$ mit $1$ .

$- 70 + 20 - 20$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $- 70$ und $20$ .

$- 50 - 20$

Schritt 5.2.5.3

Subtrahiere $20$ von $- 50$ .

$- 70$

$D_{y} = - 70$

Schritt 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 5.4

Substitute $- 70$ for $D$ and $- 70$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 70}{- 70}$

Schritt 5.5

Dividiere $- 70$ durch $- 70$ .

$y = 1$

Schritt 6

Find the value of $z$ by Cramer's Rule, which states that $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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Schritt 6.1

Replace column $3$ of the coefficient matrix that corresponds to the $z$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 4 \\ 9 \\ - 29 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 3 & - 4 \\ 1 & - 1 & 9 \\ - 1 & - 4 & - 29 \end{array} |$

Schritt 6.2

Find the determinant.

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Schritt 6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 6.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 9 \\ - 4 & - 29 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 1 & 9 \\ - 4 & - 29 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.9

Add the terms together.

$2 | \begin{array}{c} - 1 & 9 \\ - 4 & - 29 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 6.2.2

Berechne $| \begin{array}{c} - 1 & 9 \\ - 4 & - 29 \end{array} |$ .

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Schritt 6.2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 (- - 29 - (- 4 \cdot 9)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 29$ .

$2 (29 - (- 4 \cdot 9)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 4 \cdot 9)$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$2 (29 - - 36) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 36$ .

$2 (29 + 36) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2.2

Addiere $29$ und $36$ .

$2 \cdot 65 - 3 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 6.2.3

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$ .

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Schritt 6.2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot 65 - 3 (1 \cdot - 29 - (- 1 \cdot 9)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 29$ mit $1$ .

$2 \cdot 65 - 3 (- 29 - (- 1 \cdot 9)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2.1.2

Multipliziere $- (- 1 \cdot 9)$ .

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Schritt 6.2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$2 \cdot 65 - 3 (- 29 - - 9) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$2 \cdot 65 - 3 (- 29 + 9) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2.2

Addiere $- 29$ und $9$ .

$2 \cdot 65 - 3 \cdot - 20 - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 6.2.4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$ .

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Schritt 6.2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot 65 - 3 \cdot - 20 - 4 (1 \cdot - 4 - - - 1)$

Schritt 6.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$2 \cdot 65 - 3 \cdot - 20 - 4 (- 4 - - - 1)$

Schritt 6.2.4.2.1.2

Multipliziere $- - - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 \cdot 65 - 3 \cdot - 20 - 4 (- 4 - 1 \cdot 1)$

Schritt 6.2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \cdot 65 - 3 \cdot - 20 - 4 (- 4 - 1)$

Schritt 6.2.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$2 \cdot 65 - 3 \cdot - 20 - 4 \cdot - 5$

Schritt 6.2.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $65$ .

$130 - 3 \cdot - 20 - 4 \cdot - 5$

Schritt 6.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 20$ .

$130 + 60 - 4 \cdot - 5$

Schritt 6.2.5.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$130 + 60 + 20$

Schritt 6.2.5.2

Addiere $130$ und $60$ .

$190 + 20$

Schritt 6.2.5.3

Addiere $190$ und $20$ .

$210$

$D_{z} = 210$

Schritt 6.3

Use the formula to solve for $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Schritt 6.4

Substitute $- 70$ for $D$ and $210$ for $D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{210}{- 70}$

Schritt 6.5

Dividiere $210$ durch $- 70$ .

$z = - 3$

Schritt 7

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = - 2$

$y = 1$

$z = - 3$