Elementarmathematik Beispiele

$2 x - 3 y = 5$ , $5 x + 7 y = - 2$

Schritt 1

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 \\ 5 & 7 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 2 \end{array}]$

Schritt 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 2 & - 3 \\ 5 & 7 \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Write $[\begin{array}{c} 2 & - 3 \\ 5 & 7 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 \\ 5 & 7 \end{array} |$

Schritt 2.2

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot 7 - 5 \cdot - 3$

Schritt 2.3

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$14 - 5 \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 3$ .

$14 + 15$

Schritt 2.3.2

Addiere $14$ und $15$ .

$29$

$D = 29$

Schritt 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Schritt 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 5 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 5 & - 3 \\ - 2 & 7 \end{array} |$

Schritt 4.2

Find the determinant.

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Schritt 4.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$5 \cdot 7 - (- 2 \cdot - 3)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$35 - (- 2 \cdot - 3)$

Schritt 4.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 2 \cdot - 3)$ .

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$35 - 1 \cdot 6$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$35 - 6$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $6$ von $35$ .

$29$

$D_{x} = 29$

Schritt 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 4.4

Substitute $29$ for $D$ and $29$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{29}{29}$

Schritt 4.5

Dividiere $29$ durch $29$ .

$x = 1$

Schritt 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 5 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 5 & - 2 \end{array} |$

Schritt 5.2

Find the determinant.

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot - 2 - 5 \cdot 5$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4 - 5 \cdot 5$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$- 4 - 25$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $25$ von $- 4$ .

$- 29$

$D_{y} = - 29$

Schritt 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 5.4

Substitute $29$ for $D$ and $- 29$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 29}{29}$

Schritt 5.5

Dividiere $- 29$ durch $29$ .

$y = - 1$

Schritt 6

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = 1$

$y = - 1$