Elementarmathematik Beispiele

$2 x - 3 y = 12$ , $2 x + 4 y = - 8$

Schritt 1

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 \\ 2 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 12 \\ - 8 \end{array}]$

Schritt 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 2 & - 3 \\ 2 & 4 \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Write $[\begin{array}{c} 2 & - 3 \\ 2 & 4 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Schritt 2.2

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot 4 - 2 \cdot - 3$

Schritt 2.3

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 - 2 \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$8 + 6$

Schritt 2.3.2

Addiere $8$ und $6$ .

$14$

$D = 14$

Schritt 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Schritt 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 12 \\ - 8 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 12 & - 3 \\ - 8 & 4 \end{array} |$

Schritt 4.2

Find the determinant.

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Schritt 4.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$12 \cdot 4 - (- 8 \cdot - 3)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$48 - (- 8 \cdot - 3)$

Schritt 4.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 8 \cdot - 3)$ .

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 3$ .

$48 - 1 \cdot 24$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $24$ .

$48 - 24$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $24$ von $48$ .

$24$

$D_{x} = 24$

Schritt 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 4.4

Substitute $14$ for $D$ and $24$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{24}{14}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $14$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{2 (12)}{14}$

Schritt 4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 7}$

Schritt 4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 7}$

Schritt 4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{12}{7}$

Schritt 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 12 \\ - 8 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 12 \\ 2 & - 8 \end{array} |$

Schritt 5.2

Find the determinant.

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot - 8 - 2 \cdot 12$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$- 16 - 2 \cdot 12$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $12$ .

$- 16 - 24$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $24$ von $- 16$ .

$- 40$

$D_{y} = - 40$

Schritt 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 5.4

Substitute $14$ for $D$ and $- 40$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 40}{14}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 40$ und $14$ .

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 40$ heraus.

$y = \frac{2 (- 20)}{14}$

Schritt 5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot - 20}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot - 20}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 20}{7}$

Schritt 5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{20}{7}$

Schritt 6

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = \frac{12}{7}$

$y = - \frac{20}{7}$