Elementarmathematik Beispiele

$- 7 x + 11 y = - 1$ , $3 x - 9 y = 9$

Schritt 1

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} - 7 & 11 \\ 3 & - 9 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ 9 \end{array}]$

Schritt 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} - 7 & 11 \\ 3 & - 9 \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Write $[\begin{array}{c} - 7 & 11 \\ 3 & - 9 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} - 7 & 11 \\ 3 & - 9 \end{array} |$

Schritt 2.2

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 7 \cdot - 9 - 3 \cdot 11$

Schritt 2.3

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 9$ .

$63 - 3 \cdot 11$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $11$ .

$63 - 33$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $33$ von $63$ .

$30$

$D = 30$

Schritt 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Schritt 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 1 \\ 9 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 1 & 11 \\ 9 & - 9 \end{array} |$

Schritt 4.2

Find the determinant.

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Schritt 4.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- - 9 - 9 \cdot 11$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$9 - 9 \cdot 11$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $11$ .

$9 - 99$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $99$ von $9$ .

$- 90$

$D_{x} = - 90$

Schritt 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 4.4

Substitute $30$ for $D$ and $- 90$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 90}{30}$

Schritt 4.5

Dividiere $- 90$ durch $30$ .

$x = - 3$

Schritt 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 1 \\ 9 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 7 & - 1 \\ 3 & 9 \end{array} |$

Schritt 5.2

Find the determinant.

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 7 \cdot 9 - 3 \cdot - 1$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $9$ .

$- 63 - 3 \cdot - 1$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- 63 + 3$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 63$ und $3$ .

$- 60$

$D_{y} = - 60$

Schritt 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 5.4

Substitute $30$ for $D$ and $- 60$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 60}{30}$

Schritt 5.5

Dividiere $- 60$ durch $30$ .

$y = - 2$

Schritt 6

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = - 3$

$y = - 2$