Elementarmathematik Beispiele

${(x + 2)}^{2} = 12 (y - 1)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $12 (y - 1) = {(x + 2)}^{2}$ um.

$12 (y - 1) = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $12 (y - 1) = {(x + 2)}^{2}$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $12 (y - 1) = {(x + 2)}^{2}$ durch $12$ .

$\frac{12 (y - 1)}{12} = \frac{{(x + 2)}^{2}}{12}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 (y - 1)}{12} = \frac{{(x + 2)}^{2}}{12}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $y - 1$ durch $1$ .

$y - 1 = \frac{{(x + 2)}^{2}}{12}$

Schritt 1.1.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{{(x + 2)}^{2}}{12} + 1$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{12} \cdot {(x + 2)}^{2} + 1$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{1}{12} \cdot {(x + 2)}^{2} + 1$ an.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$\frac{1}{12} \cdot ((x + 2) (x + 2)) + 1$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} \cdot (x (x + 2) + 2 (x + 2)) + 1$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) + 1$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 1$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 1$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) + 1$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) + 1$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} + 4 x + 4) + 1$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} x^{2} + \frac{1}{12} (4 x) + \frac{1}{12} \cdot 4 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1.5.1

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{12} (4 x) + \frac{1}{12} \cdot 4 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{4 (3)} (4 x) + \frac{1}{12} \cdot 4 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.2.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{4 (3)} (4 (x)) + \frac{1}{12} \cdot 4 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{4 \cdot 3} (4 x) + \frac{1}{12} \cdot 4 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{12} \cdot 4 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{1}{12} \cdot 4 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{1}{4 (3)} \cdot 4 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot 4 + 1$

Schritt 1.2.1.1.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} + 1$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 1.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{1 + 3}{3}$

Schritt 1.2.1.4

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{12}$

$b = \frac{1}{3}$

$c = \frac{4}{3}$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{1}{3}}{2 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Schritt 1.2.4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{1}{3} (1 \cdot 6)$

Schritt 1.2.4.2.5

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$d = \frac{1}{3} \cdot 6$

Schritt 1.2.4.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.4.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{1}{3} \cdot (3 (2))$

Schritt 1.2.4.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Schritt 1.2.4.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$d = 2$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{4}{3} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{12}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4}{12}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4 (1)}{12}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{1}{9} \cdot 3)$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{1}{3 (3)} \cdot 3)$

Schritt 1.2.5.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Schritt 1.2.5.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{4 - 1}{3}$

Schritt 1.2.5.2.3

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$e = \frac{3}{3}$

Schritt 1.2.5.2.4

Dividiere $3$ durch $3$ .

$e = 1$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{12} {(x + 2)}^{2} + 1$ ein.

$\frac{1}{12} {(x + 2)}^{2} + 1$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{12} \cdot {(x + 2)}^{2} + 1$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{12}$

$h = - 2$

$k = 1$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 2, 1)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{12}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{12}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{12}}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \cdot 3$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2, 4)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 2$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - 2$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 2, 1)$

Brennpunkt: $(- 2, 4)$

Symmetrieachse: $x = - 2$

Leitlinie: $y = - 2$

Schritt 10