Elementarmathematik Beispiele

${(y - 7)}^{2} = 16 (x + 6)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $16 (x + 6) = {(y - 7)}^{2}$ um.

$16 (x + 6) = {(y - 7)}^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $16 (x + 6) = {(y - 7)}^{2}$ durch $16$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $16 (x + 6) = {(y - 7)}^{2}$ durch $16$ .

$\frac{16 (x + 6)}{16} = \frac{{(y - 7)}^{2}}{16}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 (x + 6)}{16} = \frac{{(y - 7)}^{2}}{16}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x + 6$ durch $1$ .

$x + 6 = \frac{{(y - 7)}^{2}}{16}$

Schritt 1.1.3

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{{(y - 7)}^{2}}{16} - 6$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$x = \frac{1}{16} \cdot {(y - 7)}^{2} - 6$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{1}{16} \cdot {(y - 7)}^{2} - 6$ an.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(y - 7)}^{2}$ als $(y - 7) (y - 7)$ um.

$\frac{1}{16} \cdot ((y - 7) (y - 7)) - 6$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(y - 7) (y - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{16} \cdot (y (y - 7) - 7 (y - 7)) - 6$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{16} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 (y - 7)) - 6$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{16} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7) - 6$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{1}{16} \cdot (y^{2} + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7) - 6$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{1}{16} \cdot (y^{2} - 7 \cdot y - 7 y - 7 \cdot - 7) - 6$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$\frac{1}{16} \cdot (y^{2} - 7 y - 7 y + 49) - 6$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Subtrahiere $7 y$ von $- 7 y$ .

$\frac{1}{16} \cdot (y^{2} - 14 y + 49) - 6$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{16} y^{2} + \frac{1}{16} (- 14 y) + \frac{1}{16} \cdot 49 - 6$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1.5.1

Kombiniere $\frac{1}{16}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{1}{16} (- 14 y) + \frac{1}{16} \cdot 49 - 6$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{1}{2 (8)} (- 14 y) + \frac{1}{16} \cdot 49 - 6$

Schritt 1.2.1.1.5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 14 y$ heraus.

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{1}{2 (8)} (2 (- 7 y)) + \frac{1}{16} \cdot 49 - 6$

Schritt 1.2.1.1.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{1}{2 \cdot 8} (2 (- 7 y)) + \frac{1}{16} \cdot 49 - 6$

Schritt 1.2.1.1.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{1}{8} (- 7 y) + \frac{1}{16} \cdot 49 - 6$

Schritt 1.2.1.1.5.3

Kombiniere $- 7$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{- 7}{8} y + \frac{1}{16} \cdot 49 - 6$

Schritt 1.2.1.1.5.4

Kombiniere $\frac{- 7}{8}$ und $y$ .

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{- 7 y}{8} + \frac{1}{16} \cdot 49 - 6$

Schritt 1.2.1.1.5.5

Kombiniere $\frac{1}{16}$ und $49$ .

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{- 7 y}{8} + \frac{49}{16} - 6$

Schritt 1.2.1.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{7 y}{8} + \frac{49}{16} - 6$

Schritt 1.2.1.2

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{7 y}{8} + \frac{49}{16} - 6 \cdot \frac{16}{16}$

Schritt 1.2.1.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{16}{16}$ .

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{7 y}{8} + \frac{49}{16} + \frac{- 6 \cdot 16}{16}$

Schritt 1.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{7 y}{8} + \frac{49 - 6 \cdot 16}{16}$

Schritt 1.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $16$ .

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{7 y}{8} + \frac{49 - 96}{16}$

Schritt 1.2.1.5.2

Subtrahiere $96$ von $49$ .

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{7 y}{8} + \frac{- 47}{16}$

Schritt 1.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{7 y}{8} - \frac{47}{16}$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{16}$

$b = - \frac{7}{8}$

$c = - \frac{47}{16}$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{7}{8}}{2 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{16}$ .

$d = - \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2}{16}}$

Schritt 1.2.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $16$ .

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = - \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{16}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$d = - \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = - \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = - \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.2.4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{7}{8} (1 \cdot 8)$

Schritt 1.2.4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.2.4.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{8}$ in den Zähler.

$d = \frac{- 7}{8} (1 \cdot 8)$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Faktorisiere $8$ aus $1 \cdot 8$ heraus.

$d = \frac{- 7}{8} (8 \cdot 1)$

Schritt 1.2.4.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 7}{8} (8 \cdot 1)$

Schritt 1.2.4.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$d = - 7$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{47}{16} - \frac{{(- \frac{7}{8})}^{2}}{4 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7}{8}$ an.

$e = - \frac{47}{16} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{7}{8})}^{2}}{4 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - \frac{47}{16} - \frac{1 {(\frac{7}{8})}^{2}}{4 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{8}$ an.

$e = - \frac{47}{16} - \frac{1 \frac{7^{2}}{8^{2}}}{4 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.4

Potenziere $7$ mit $2$ .

$e = - \frac{47}{16} - \frac{1 \frac{49}{8^{2}}}{4 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.5

Potenziere $8$ mit $2$ .

$e = - \frac{47}{16} - \frac{1 (\frac{49}{64})}{4 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{49}{64}$ mit $1$ .

$e = - \frac{47}{16} - \frac{\frac{49}{64}}{4 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{16}$ .

$e = - \frac{47}{16} - \frac{\frac{49}{64}}{\frac{4}{16}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $16$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e = - \frac{47}{16} - \frac{\frac{49}{64}}{\frac{4 (1)}{16}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$e = - \frac{47}{16} - \frac{\frac{49}{64}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{47}{16} - \frac{\frac{49}{64}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{47}{16} - \frac{\frac{49}{64}}{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - \frac{47}{16} - (\frac{49}{64} \cdot 4)$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$e = - \frac{47}{16} - (\frac{49}{4 (16)} \cdot 4)$

Schritt 1.2.5.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{47}{16} - (\frac{49}{4 \cdot 16} \cdot 4)$

Schritt 1.2.5.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{47}{16} - \frac{49}{16}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 47 - 49}{16}$

Schritt 1.2.5.2.3

Subtrahiere $49$ von $- 47$ .

$e = \frac{- 96}{16}$

Schritt 1.2.5.2.4

Dividiere $- 96$ durch $16$ .

$e = - 6$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{16} {(y - 7)}^{2} - 6$ ein.

$\frac{1}{16} {(y - 7)}^{2} - 6$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{16} \cdot {(y - 7)}^{2} - 6$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{16}$

$h = - 6$

$k = 7$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 6, 7)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{16}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{16}}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $16$ .

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{16}}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{1}{4}}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \cdot 4$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2, 7)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 7$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - 10$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 6, 7)$

Brennpunkt: $(- 2, 7)$

Symmetrieachse: $y = 7$

Leitlinie: $x = - 10$

Schritt 10