Elementarmathematik Beispiele

${(y - 6)}^{2} = 12 (x + 2)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $12 (x + 2) = {(y - 6)}^{2}$ um.

$12 (x + 2) = {(y - 6)}^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $12 (x + 2) = {(y - 6)}^{2}$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $12 (x + 2) = {(y - 6)}^{2}$ durch $12$ .

$\frac{12 (x + 2)}{12} = \frac{{(y - 6)}^{2}}{12}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 (x + 2)}{12} = \frac{{(y - 6)}^{2}}{12}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x + 2$ durch $1$ .

$x + 2 = \frac{{(y - 6)}^{2}}{12}$

Schritt 1.1.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{12} - 2$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$x = \frac{1}{12} \cdot {(y - 6)}^{2} - 2$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{1}{12} \cdot {(y - 6)}^{2} - 2$ an.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(y - 6)}^{2}$ als $(y - 6) (y - 6)$ um.

$\frac{1}{12} \cdot ((y - 6) (y - 6)) - 2$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(y - 6) (y - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} \cdot (y (y - 6) - 6 (y - 6)) - 2$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 (y - 6)) - 2$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6) - 2$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6) - 2$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} - 6 \cdot y - 6 y - 6 \cdot - 6) - 2$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} - 6 y - 6 y + 36) - 2$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Subtrahiere $6 y$ von $- 6 y$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} - 12 y + 36) - 2$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} y^{2} + \frac{1}{12} (- 12 y) + \frac{1}{12} \cdot 36 - 2$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1.5.1

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{12} (- 12 y) + \frac{1}{12} \cdot 36 - 2$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.2.1

Faktorisiere $12$ aus $- 12 y$ heraus.

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{12} (12 (- y)) + \frac{1}{12} \cdot 36 - 2$

Schritt 1.2.1.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{12} (12 (- y)) + \frac{1}{12} \cdot 36 - 2$

Schritt 1.2.1.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2}}{12} - y + \frac{1}{12} \cdot 36 - 2$

Schritt 1.2.1.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.3.1

Faktorisiere $12$ aus $36$ heraus.

$\frac{y^{2}}{12} - y + \frac{1}{12} \cdot (12 (3)) - 2$

Schritt 1.2.1.1.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{12} - y + \frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 3) - 2$

Schritt 1.2.1.1.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2}}{12} - y + 3 - 2$

Schritt 1.2.1.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{y^{2}}{12} - y + 1$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{12}$

$b = - 1$

$c = 1$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{- 1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{- 1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{6}}$

Schritt 1.2.4.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - 1 \cdot 6$

Schritt 1.2.4.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$d = - 6$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 1 - \frac{1}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{12}$ .

$e = 1 - \frac{1}{\frac{4}{12}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e = 1 - \frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$e = 1 - \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 1 - \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 1 - \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 1 - (1 \cdot 3)$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Multipliziere $- (1 \cdot 3)$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$e = 1 - 1 \cdot 3$

Schritt 1.2.5.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$e = 1 - 3$

Schritt 1.2.5.2.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$e = - 2$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{12} {(y - 6)}^{2} - 2$ ein.

$\frac{1}{12} {(y - 6)}^{2} - 2$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{12} \cdot {(y - 6)}^{2} - 2$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{12}$

$h = - 2$

$k = 6$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 2, 6)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{12}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{12}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{12}}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \cdot 3$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(1, 6)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 6$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - 5$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 2, 6)$

Brennpunkt: $(1, 6)$

Symmetrieachse: $y = 6$

Leitlinie: $x = - 5$

Schritt 10