Elementarmathematik Beispiele

${(y + 4)}^{2} = 16 (x - 3)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $16 (x - 3) = {(y + 4)}^{2}$ um.

$16 (x - 3) = {(y + 4)}^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $16 (x - 3) = {(y + 4)}^{2}$ durch $16$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $16 (x - 3) = {(y + 4)}^{2}$ durch $16$ .

$\frac{16 (x - 3)}{16} = \frac{{(y + 4)}^{2}}{16}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 (x - 3)}{16} = \frac{{(y + 4)}^{2}}{16}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x - 3$ durch $1$ .

$x - 3 = \frac{{(y + 4)}^{2}}{16}$

Schritt 1.1.3

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{{(y + 4)}^{2}}{16} + 3$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$x = \frac{1}{16} \cdot {(y + 4)}^{2} + 3$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{1}{16} \cdot {(y + 4)}^{2} + 3$ an.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(y + 4)}^{2}$ als $(y + 4) (y + 4)$ um.

$\frac{1}{16} \cdot ((y + 4) (y + 4)) + 3$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(y + 4) (y + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{16} \cdot (y (y + 4) + 4 (y + 4)) + 3$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{16} \cdot (y \cdot y + y \cdot 4 + 4 (y + 4)) + 3$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{16} \cdot (y \cdot y + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4) + 3$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{1}{16} \cdot (y^{2} + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4) + 3$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{1}{16} \cdot (y^{2} + 4 \cdot y + 4 y + 4 \cdot 4) + 3$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{1}{16} \cdot (y^{2} + 4 y + 4 y + 16) + 3$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Addiere $4 y$ und $4 y$ .

$\frac{1}{16} \cdot (y^{2} + 8 y + 16) + 3$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{16} y^{2} + \frac{1}{16} (8 y) + \frac{1}{16} \cdot 16 + 3$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1.5.1

Kombiniere $\frac{1}{16}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{1}{16} (8 y) + \frac{1}{16} \cdot 16 + 3$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.2.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{1}{8 (2)} (8 y) + \frac{1}{16} \cdot 16 + 3$

Schritt 1.2.1.1.5.2.2

Faktorisiere $8$ aus $8 y$ heraus.

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{1}{8 (2)} (8 (y)) + \frac{1}{16} \cdot 16 + 3$

Schritt 1.2.1.1.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{1}{8 \cdot 2} (8 y) + \frac{1}{16} \cdot 16 + 3$

Schritt 1.2.1.1.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{1}{2} y + \frac{1}{16} \cdot 16 + 3$

Schritt 1.2.1.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y$ .

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{y}{2} + \frac{1}{16} \cdot 16 + 3$

Schritt 1.2.1.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{y}{2} + \frac{1}{16} \cdot 16 + 3$

Schritt 1.2.1.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{y}{2} + 1 + 3$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{y}{2} + 4$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{16}$

$b = \frac{1}{2}$

$c = 4$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{16}$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{16}}$

Schritt 1.2.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $16$ .

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{16}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{8}}$

Schritt 1.2.4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{1}{2} (1 \cdot 8)$

Schritt 1.2.4.2.5

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot 8$

Schritt 1.2.4.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{1}{2} \cdot (2 (4))$

Schritt 1.2.4.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

Schritt 1.2.4.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$d = 4$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 4 - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$e = 4 - \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 4 - \frac{\frac{1}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 4 - \frac{\frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{16})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{16}$ .

$e = 4 - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{16}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $16$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e = 4 - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 (1)}{16}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$e = 4 - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 4 - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 4 - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\frac{1}{4}$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 4 - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.5.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 4 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 4 - 1$

Schritt 1.2.5.2.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$e = 3$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{16} {(y + 4)}^{2} + 3$ ein.

$\frac{1}{16} {(y + 4)}^{2} + 3$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{16} \cdot {(y + 4)}^{2} + 3$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{16}$

$h = 3$

$k = - 4$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(3, - 4)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{16}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{16}}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $16$ .

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{16}}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{1}{4}}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \cdot 4$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(7, - 4)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = - 4$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - 1$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(3, - 4)$

Brennpunkt: $(7, - 4)$

Symmetrieachse: $y = - 4$

Leitlinie: $x = - 1$

Schritt 10