Elementarmathematik Beispiele

$25 x^{2} + 4 y - 100 x - 16 y + 16 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $16 y$ von $4 y$ .

$25 x^{2} - 100 x - 12 y + 16 = 0$

Schritt 1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.2.1

Subtrahiere $25 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 100 x - 12 y + 16 = - 25 x^{2}$

Schritt 1.1.2.2

Addiere $100 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 y + 16 = - 25 x^{2} + 100 x$

Schritt 1.1.2.3

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 y = - 25 x^{2} + 100 x - 16$

Schritt 1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $- 12 y = - 25 x^{2} + 100 x - 16$ durch $- 12$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 12 y = - 25 x^{2} + 100 x - 16$ durch $- 12$ .

$\frac{- 12 y}{- 12} = \frac{- 25 x^{2}}{- 12} + \frac{100 x}{- 12} + \frac{- 16}{- 12}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 12$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 12 y}{- 12} = \frac{- 25 x^{2}}{- 12} + \frac{100 x}{- 12} + \frac{- 16}{- 12}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 25 x^{2}}{- 12} + \frac{100 x}{- 12} + \frac{- 16}{- 12}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} + \frac{100 x}{- 12} + \frac{- 16}{- 12}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $- 12$ .

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Schritt 1.1.3.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $100 x$ heraus.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} + \frac{4 (25 x)}{- 12} + \frac{- 16}{- 12}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} + \frac{4 (25 x)}{4 (- 3)} + \frac{- 16}{- 12}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} + \frac{4 (25 x)}{4 \cdot - 3} + \frac{- 16}{- 12}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} + \frac{25 x}{- 3} + \frac{- 16}{- 12}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} - \frac{25 x}{3} + \frac{- 16}{- 12}$

Schritt 1.1.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16$ und $- 12$ .

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Schritt 1.1.3.3.1.4.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 16$ heraus.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} - \frac{25 x}{3} + \frac{- 4 (4)}{- 12}$

Schritt 1.1.3.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.3.1.4.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 12$ heraus.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} - \frac{25 x}{3} + \frac{- 4 \cdot 4}{- 4 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} - \frac{25 x}{3} + \frac{- 4 \cdot 4}{- 4 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} - \frac{25 x}{3} + \frac{4}{3}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{25 x^{2}}{12} - \frac{25 x}{3} + \frac{4}{3}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{25}{12}$

$b = - \frac{25}{3}$

$c = \frac{4}{3}$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{25}{3}}{2 (\frac{25}{12})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{25}{12})}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{25}{12}$ .

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 25}{12}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{\frac{50}{12}}$

Schritt 1.2.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $50$ und $12$ .

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Schritt 1.2.3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $50$ heraus.

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 (25)}{12}}$

Schritt 1.2.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 6}}$

Schritt 1.2.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 6}}$

Schritt 1.2.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{\frac{25}{6}}$

Schritt 1.2.3.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{25}{3} (1 (\frac{6}{25}))$

Schritt 1.2.3.2.6

Mutltipliziere $\frac{6}{25}$ mit $1$ .

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{6}{25}$

Schritt 1.2.3.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 1.2.3.2.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{25}{3}$ in den Zähler.

$d = \frac{- 25}{3} \cdot \frac{6}{25}$

Schritt 1.2.3.2.7.2

Faktorisiere $25$ aus $- 25$ heraus.

$d = \frac{25 (- 1)}{3} \cdot \frac{6}{25}$

Schritt 1.2.3.2.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{25 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{6}{25}$

Schritt 1.2.3.2.7.4

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{3} \cdot 6$

Schritt 1.2.3.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.2.8.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (2))$

Schritt 1.2.3.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Schritt 1.2.3.2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$d = - 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.3.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = - 2$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{4}{3} - \frac{{(- \frac{25}{3})}^{2}}{4 (\frac{25}{12})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{25}{3}$ an.

$e = \frac{4}{3} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{25}{3})}^{2}}{4 (\frac{25}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{1 {(\frac{25}{3})}^{2}}{4 (\frac{25}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{25}{3}$ an.

$e = \frac{4}{3} - \frac{1 \frac{25^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{25}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.4

Potenziere $25$ mit $2$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{1 \frac{625}{3^{2}}}{4 (\frac{25}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{1 (\frac{625}{9})}{4 (\frac{25}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{625}{9}$ mit $1$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{625}{9}}{4 (\frac{25}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{25}{12}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{625}{9}}{\frac{4 \cdot 25}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{625}{9}}{\frac{100}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $12$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $100$ heraus.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{625}{9}}{\frac{4 (25)}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{625}{9}}{\frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{625}{9}}{\frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{625}{9}}{\frac{25}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{625}{9} \cdot \frac{3}{25})$

Schritt 1.2.4.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.6.1

Faktorisiere $25$ aus $625$ heraus.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{25 (25)}{9} \cdot \frac{3}{25})$

Schritt 1.2.4.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{25 \cdot 25}{9} \cdot \frac{3}{25})$

Schritt 1.2.4.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{25}{9} \cdot 3)$

Schritt 1.2.4.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.7.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{25}{3 (3)} \cdot 3)$

Schritt 1.2.4.2.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{25}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Schritt 1.2.4.2.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{4}{3} - \frac{25}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{4 - 25}{3}$

Schritt 1.2.4.2.3

Subtrahiere $25$ von $4$ .

$e = \frac{- 21}{3}$

Schritt 1.2.4.2.4

Dividiere $- 21$ durch $3$ .

$e = - 7$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{25}{12} {(x - 2)}^{2} - 7$ ein.

$\frac{25}{12} {(x - 2)}^{2} - 7$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{25}{12} \cdot {(x - 2)}^{2} - 7$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{25}{12}$

$h = 2$

$k = - 7$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(2, - 7)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{25}{12}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{25}{12}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 25}{12}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$\frac{1}{\frac{100}{12}}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $12$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $100$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 (25)}{12}}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 3}}$

Schritt 5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 3}}$

Schritt 5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{25}{3}}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 (\frac{3}{25})$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $\frac{3}{25}$ mit $1$ .

$\frac{3}{25}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(2, - \frac{172}{25})$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 2$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{178}{25}$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(2, - 7)$

Brennpunkt: $(2, - \frac{172}{25})$

Symmetrieachse: $x = 2$

Leitlinie: $y = - \frac{178}{25}$

Schritt 10