Elementarmathematik Beispiele

$25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 18 y - 116 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Addiere $116$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 18 y = 116$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $25 x^{2} - 100 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 100$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 100$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 25$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 50}{25}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 50$ und $25$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $- 50$ heraus.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$d = - 2$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 100$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $10000$ durch $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $100$ .

$e = 0 - 100$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $100$ von $0$ .

$e = - 100$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ ein.

$25 {(x - 2)}^{2} - 100$

Schritt 1.3

Setze $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ für $25 x^{2} - 100 x$ ein in der Gleichung $25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 18 y = 116$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100 + 9 y^{2} + 18 y = 116$

Schritt 1.4

Bringe $- 100$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $100$ auf beiden Seiten.

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 y^{2} + 18 y = 116 + 100$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $9 y^{2} + 18 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 9$

$b = 18$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{18}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 9$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 (9)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{9}{9}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{9}{9}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{18^{2}}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $18$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $324$ durch $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$e = 0 - 9$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$e = - 9$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $9 {(y + 1)}^{2} - 9$ ein.

$9 {(y + 1)}^{2} - 9$

Schritt 1.6

Setze $9 {(y + 1)}^{2} - 9$ für $9 y^{2} + 18 y$ ein in der Gleichung $25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 18 y = 116$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 1)}^{2} - 9 = 116 + 100$

Schritt 1.7

Bringe $- 9$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $9$ auf beiden Seiten.

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 1)}^{2} = 116 + 100 + 9$

Schritt 1.8

Vereinfache $116 + 100 + 9$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $116$ und $100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 1)}^{2} = 216 + 9$

Schritt 1.8.2

Addiere $216$ und $9$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 1)}^{2} = 225$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $225$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{25 {(x - 2)}^{2}}{225} + \frac{9 {(y + 1)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{25} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 5$

$b = 3$

$k = - 1$

$h = 2$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(2, - 1)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{25 - {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 9}$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\sqrt{25 - 9}$

Schritt 5.3.4

Subtrahiere $9$ von $25$ .

$\sqrt{16}$

Schritt 5.3.5

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\sqrt{4^{2}}$

Schritt 5.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$4$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(2, - 1 + 5)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(2, 4)$

Schritt 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(2, - 1 - (5))$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(2, - 6)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(2, 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 6)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(2, - 1 + 4)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$(2, 3)$

Schritt 7.4

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(2, - 1 - (4))$

Schritt 7.6

Vereinfache.

$(2, - 5)$

Schritt 7.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(2, 3)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 5)$

${Focus}_{1}$ : $(2, 3)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 5)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}}{5}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 3^{2}}}{5}$

Schritt 8.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 9}}{5}$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{\sqrt{25 - 9}}{5}$

Schritt 8.3.4

Subtrahiere $9$ von $25$ .

$\frac{\sqrt{16}}{5}$

Schritt 8.3.5

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{5}$

Schritt 8.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{4}{5}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(2, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(2, 3)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 5)$

Exzentrizität: $\frac{4}{5}$

Schritt 10