Elementarmathematik Beispiele

$16 x^{2} - y^{2} - 96 x - 10 y + 123 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $123$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} - y^{2} - 96 x - 10 y = - 123$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $16 x^{2} - 96 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 16$

$b = - 96$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 96}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 96$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 96$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 48}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 16$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 48}{2 (16)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 48}{2 \cdot 16}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 48}{16}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 48$ und $16$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $- 48$ heraus.

$d = \frac{16 \cdot - 3}{16}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $16$ heraus.

$d = \frac{16 \cdot - 3}{16 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{16 \cdot - 3}{16 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 3}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$d = - 3$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 96)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 96$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{9216}{4 \cdot 16}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$e = 0 - \frac{9216}{64}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $9216$ durch $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $144$ .

$e = 0 - 144$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $144$ von $0$ .

$e = - 144$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $16 {(x - 3)}^{2} - 144$ ein.

$16 {(x - 3)}^{2} - 144$

Schritt 1.3

Setze $16 {(x - 3)}^{2} - 144$ für $16 x^{2} - 96 x$ ein in der Gleichung $16 x^{2} - y^{2} - 96 x - 10 y = - 123$ .

$16 {(x - 3)}^{2} - 144 - y^{2} - 10 y = - 123$

Schritt 1.4

Bringe $- 144$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $144$ auf beiden Seiten.

$16 {(x - 3)}^{2} - y^{2} - 10 y = - 123 + 144$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $- y^{2} - 10 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = - 10$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 5$

Schritt 1.5.3.2.2

Schreibe $- 1 \cdot - 5$ als $- - 5$ um.

$d = - - 5$

Schritt 1.5.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$d = 5$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 0 - \frac{100}{- 4}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $100$ durch $- 4$ .

$e = 0 - - 25$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 25$ .

$e = 0 + 25$

Schritt 1.5.4.2.2

Addiere $0$ und $25$ .

$e = 25$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(y + 5)}^{2} + 25$ ein.

$- {(y + 5)}^{2} + 25$

Schritt 1.6

Setze $- {(y + 5)}^{2} + 25$ für $- y^{2} - 10 y$ ein in der Gleichung $16 x^{2} - y^{2} - 96 x - 10 y = - 123$ .

$16 {(x - 3)}^{2} - {(y + 5)}^{2} + 25 = - 123 + 144$

Schritt 1.7

Bringe $25$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $25$ auf beiden Seiten.

$16 {(x - 3)}^{2} - {(y + 5)}^{2} = - 123 + 144 - 25$

Schritt 1.8

Vereinfache $- 123 + 144 - 25$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $- 123$ und $144$ .

$16 {(x - 3)}^{2} - {(y + 5)}^{2} = 21 - 25$

Schritt 1.8.2

Subtrahiere $25$ von $21$ .

$16 {(x - 3)}^{2} - {(y + 5)}^{2} = - 4$

Schritt 1.9

Vertausche das Vorzeichen jedes Terms der Gleichung, sodass der Term auf der rechten Seite positiv ist.

$- 16 {(x - 3)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 4$

Schritt 1.10

Teile jeden Term durch $4$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$- \frac{16 {(x - 3)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Schritt 1.11

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 2$

$b = \frac{1}{2}$

$k = - 5$

$h = 3$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(3, - 5)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\sqrt{4 + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{4 + \frac{1}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + \frac{1}{4}}$

Schritt 5.3.5

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Schritt 5.3.6

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}}$

Schritt 5.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 4 + 1}{4}}$

Schritt 5.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.8.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\sqrt{\frac{16 + 1}{4}}$

Schritt 5.3.8.2

Addiere $16$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{17}{4}}$

Schritt 5.3.9

Schreibe $\sqrt{\frac{17}{4}}$ als $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.3.10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.10.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 5.3.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{17}}{2}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3, - 3)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - a)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3, - 7)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm a)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(3, - 3), (3, - 7)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3, - 5 + \frac{\sqrt{17}}{2})$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3, - 5 - \frac{\sqrt{17}}{2})$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(3, - 5 + \frac{\sqrt{17}}{2}), (3, - 5 - \frac{\sqrt{17}}{2})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + {(\frac{1}{2})}^{2}}}{2}$

Schritt 8.3.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{\sqrt{4 + \frac{1^{2}}{2^{2}}}}{2}$

Schritt 8.3.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\sqrt{4 + \frac{1}{2^{2}}}}{2}$

Schritt 8.3.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + \frac{1}{4}}}{2}$

Schritt 8.3.1.5

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}}{2}$

Schritt 8.3.1.6

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}}}{2}$

Schritt 8.3.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{\frac{4 \cdot 4 + 1}{4}}}{2}$

Schritt 8.3.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.8.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt{\frac{16 + 1}{4}}}{2}$

Schritt 8.3.1.8.2

Addiere $16$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{17}{4}}}{2}$

Schritt 8.3.1.9

Schreibe $\sqrt{\frac{17}{4}}$ als $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{4}}}{2}$

Schritt 8.3.1.10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.1.10.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{2^{2}}}}{2}$

Schritt 8.3.1.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\frac{\sqrt{17}}{2}}{2}$

Schritt 8.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{17}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 8.3.3

Multipliziere $\frac{\sqrt{17}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 8.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{17}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{17}}{4}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\sqrt{17}}}{2}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\sqrt{17}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.3.2

Kombinieren.

$\frac{\frac{1}{2^{2}} \cdot 1}{\sqrt{17} \cdot 2}$

Schritt 9.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{\sqrt{17} \cdot 2}$

Schritt 9.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{17} \cdot 2}$

Schritt 9.3.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{17}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{2 \sqrt{17}}$

Schritt 9.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{17}}$

Schritt 9.3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{17}}$ mit $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2 \sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

Schritt 9.3.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{17}}$ mit $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 \sqrt{17} \sqrt{17}}$

Schritt 9.3.6.2

Bewege $\sqrt{17}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 (\sqrt{17} \sqrt{17})}$

Schritt 9.3.6.3

Potenziere $\sqrt{17}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 ({\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17})}$

Schritt 9.3.6.4

Potenziere $\sqrt{17}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 ({\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1})}$

Schritt 9.3.6.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 {\sqrt{17}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.6.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 {\sqrt{17}}^{2}}$

Schritt 9.3.6.7

Schreibe ${\sqrt{17}}^{2}$ als $17$ um.

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Schritt 9.3.6.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{17}$ als $17^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 {(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.6.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 \cdot 17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.6.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 \cdot 17^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.6.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.6.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 \cdot 17^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.6.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 \cdot 17^{1}}$

Schritt 9.3.6.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 \cdot 17}$

Schritt 9.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $17$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{34}$

Schritt 9.3.8

Multipliziere $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{34}$ .

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Schritt 9.3.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{\sqrt{17}}{34}$ .

$\frac{\sqrt{17}}{4 \cdot 34}$

Schritt 9.3.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $34$ .

$\frac{\sqrt{17}}{136}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , da diese Hyperbel nach oben und unten offen ist.

$y = \pm 4 \cdot (x - (3)) - 5$

Schritt 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = 4 \cdot (x - (3)) - 5$

Schritt 11.2

Vereinfache $4 \cdot (x - (3)) - 5$ .

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = 4 \cdot (x - 3) - 5$

Schritt 11.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 4 x + 4 \cdot - 3 - 5$

Schritt 11.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$y = 4 x - 12 - 5$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $5$ von $- 12$ .

$y = 4 x - 17$

Schritt 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$y = - 4 \cdot (x - (3)) - 5$

Schritt 12.2

Vereinfache $- 4 \cdot (x - (3)) - 5$ .

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - 4 \cdot (x - 3) - 5$

Schritt 12.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 4 x - 4 \cdot - 3 - 5$

Schritt 12.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$y = - 4 x + 12 - 5$

Schritt 12.2.2

Subtrahiere $5$ von $12$ .

$y = - 4 x + 7$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = 4 x - 17, y = - 4 x + 7$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(3, - 5)$

Scheitelpunkte: $(3, - 3), (3, - 7)$

Brennpunkte: $(3, - 5 + \frac{\sqrt{17}}{2}), (3, - 5 - \frac{\sqrt{17}}{2})$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{17}}{4}$

Fokaler Parameter: $\frac{\sqrt{17}}{136}$

Asymptoten: $y = 4 x - 17$ , $y = - 4 x + 7$

Schritt 15