Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 5.3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 5.3.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}}$

Schritt 5.3.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}}$

Schritt 5.3.7

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}}$

Schritt 5.3.8

Um $- \frac{1}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 5.3.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $36$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 5.3.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 5.3.9.3

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}}$

Schritt 5.3.9.4

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}}$

Schritt 5.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}}$

Schritt 5.3.11

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$\sqrt{\frac{5}{36}}$

Schritt 5.3.12

Schreibe $\sqrt{\frac{5}{36}}$ als $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ um.

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$

Schritt 5.3.13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.13.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}}$

Schritt 5.3.13.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{5}}{6}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 + \frac{1}{2}, 0)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(\frac{1}{2}, 0)$

Schritt 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 - (\frac{1}{2}), 0)$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(- \frac{1}{2}, 0)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 + \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Schritt 7.4

Der zweite Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0 - (\frac{\sqrt{5}}{6}), 0)$

Schritt 7.6

Vereinfache.

$(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Schritt 7.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}}{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Schritt 8.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Schritt 8.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Schritt 8.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Schritt 8.3.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}} \cdot 2$

Schritt 8.3.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}} \cdot 2$

Schritt 8.3.7

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

Schritt 8.3.8

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

Schritt 8.3.9

Um $- \frac{1}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Schritt 8.3.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $36$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Schritt 8.3.10.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Schritt 8.3.10.3

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}} \cdot 2$

Schritt 8.3.10.4

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}} \cdot 2$

Schritt 8.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}} \cdot 2$

Schritt 8.3.12

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$\sqrt{\frac{5}{36}} \cdot 2$

Schritt 8.3.13

Schreibe $\sqrt{\frac{5}{36}}$ als $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ um.

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}} \cdot 2$

Schritt 8.3.14

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.14.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 2$

Schritt 8.3.14.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{5}}{6} \cdot 2$

Schritt 8.3.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.15.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{\sqrt{5}}{2 (3)} \cdot 2$

Schritt 8.3.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 3} \cdot 2$

Schritt 8.3.15.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Schritt 10