Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 2 x + 15 y = - 3 y^{2} + 7$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Addiere $3 y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 x + 15 y + 3 y^{2} = 7$

Schritt 1.1.2

Bewege $15 y$ .

$x^{2} + 2 x + 3 y^{2} + 15 y = 7$

Schritt 1.1.3

Bewege $2 x$ .

$x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + 2 x$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 0 - 1$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$e = - 1$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + 1)}^{2} - 1$ ein.

${(x + 1)}^{2} - 1$

Schritt 1.3

Setze ${(x + 1)}^{2} - 1$ für $x^{2} + 2 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 + 3 y^{2} + 15 y = 7$

Schritt 1.4

Bringe $- 1$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1$ auf beiden Seiten.

${(x + 1)}^{2} + 3 y^{2} + 15 y = 7 + 1$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $3 y^{2} + 15 y$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 3$

$b = 15$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{15}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$d = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $2 \cdot 3$ heraus.

$d = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}$

Schritt 1.5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{5}{2}$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{15^{2}}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $15$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{225}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$e = 0 - \frac{225}{12}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $225$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $225$ heraus.

$e = 0 - \frac{3 (75)}{12}$

Schritt 1.5.4.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.1.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$e = 0 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot 4}$

Schritt 1.5.4.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot 4}$

Schritt 1.5.4.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{75}{4}$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $\frac{75}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{75}{4}$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$ ein.

$3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$

Schritt 1.6

Setze $3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$ für $3 y^{2} + 15 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4} = 7 + 1$

Schritt 1.7

Bringe $- \frac{75}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{75}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 7 + 1 + \frac{75}{4}$

Schritt 1.8

Vereinfache $7 + 1 + \frac{75}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1.1

Schreibe $7$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7}{1} + 1 + \frac{75}{4}$

Schritt 1.8.1.2

Mutltipliziere $\frac{7}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1 + \frac{75}{4}$

Schritt 1.8.1.3

Mutltipliziere $\frac{7}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + 1 + \frac{75}{4}$

Schritt 1.8.1.4

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} + \frac{75}{4}$

Schritt 1.8.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{75}{4}$

Schritt 1.8.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4} + \frac{75}{4}$

Schritt 1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4 + 4 + 75}{4}$

Schritt 1.8.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.3.1

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{28 + 4 + 75}{4}$

Schritt 1.8.3.2

Addiere $28$ und $4$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{32 + 75}{4}$

Schritt 1.8.3.3

Addiere $32$ und $75$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{107}{4}$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $\frac{107}{4}$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{107}{4}} + \frac{3 {(y + \frac{5}{2})}^{2}}{\frac{107}{4}} = \frac{\frac{107}{4}}{\frac{107}{4}}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{107}{4}} + \frac{{(y + \frac{5}{2})}^{2}}{\frac{107}{12}} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = \frac{\sqrt{107}}{2}$

$b = \frac{\sqrt{321}}{6}$

$k = - \frac{5}{2}$

$h = - 1$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(- 1, - \frac{5}{2})$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{107}}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{{\sqrt{107}}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Schreibe ${\sqrt{107}}^{2}$ als $107$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{107}$ als $107^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{{(107^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{107^{1}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{107}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{321}}{6}$ an.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{\sqrt{321}}^{2}}{6^{2}}}$

Schritt 5.3.4

Schreibe ${\sqrt{321}}^{2}$ als $321$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{321}$ als $321^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{(321^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}}$

Schritt 5.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}}$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Schritt 5.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Schritt 5.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{1}}{6^{2}}}$

Schritt 5.3.4.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{6^{2}}}$

Schritt 5.3.5

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{36}}$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $321$ und $36$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $321$ heraus.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 (107)}{36}}$

Schritt 5.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}}$

Schritt 5.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}}$

Schritt 5.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{107}{12}}$

Schritt 5.3.7

Um $\frac{107}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{107}{12}}$

Schritt 5.3.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.8.1

Mutltipliziere $\frac{107}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{107}{12}}$

Schritt 5.3.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{12} - \frac{107}{12}}$

Schritt 5.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3 - 107}{12}}$

Schritt 5.3.10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.10.1

Mutltipliziere $107$ mit $3$ .

$\sqrt{\frac{321 - 107}{12}}$

Schritt 5.3.10.2

Subtrahiere $107$ von $321$ .

$\sqrt{\frac{214}{12}}$

Schritt 5.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $214$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.11.1

Faktorisiere $2$ aus $214$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (107)}{12}}$

Schritt 5.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}}$

Schritt 5.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}}$

Schritt 5.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{107}{6}}$

Schritt 5.3.12

Schreibe $\sqrt{\frac{107}{6}}$ als $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ um.

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$

Schritt 5.3.13

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Schritt 5.3.14

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.14.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 5.3.14.2

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Schritt 5.3.14.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Schritt 5.3.14.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.14.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 5.3.14.6

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.14.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.14.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.14.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.14.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.14.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.14.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Schritt 5.3.14.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6}$

Schritt 5.3.15

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.15.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{107 \cdot 6}}{6}$

Schritt 5.3.15.2

Mutltipliziere $107$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{642}}{6}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

Schritt 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(- 1 - (\frac{\sqrt{107}}{2}), - \frac{5}{2})$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

Schritt 6.6

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(- 1 - (\frac{\sqrt{642}}{6}), - \frac{5}{2})$

Schritt 7.5

Vereinfache.

$(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Schritt 7.6

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}}{\frac{\sqrt{107}}{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{107}}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{{\sqrt{107}}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.3

Schreibe ${\sqrt{107}}^{2}$ als $107$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{107}$ als $107^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{{(107^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{107^{1}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.3.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{107}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.4.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{321}}{6}$ an.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{\sqrt{321}}^{2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.5

Schreibe ${\sqrt{321}}^{2}$ als $321$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{321}$ als $321^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{(321^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{1}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.5.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.6

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{36}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $321$ und $36$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.7.1

Faktorisiere $3$ aus $321$ heraus.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 (107)}{36}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.8

Um $\frac{107}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.9.1

Mutltipliziere $\frac{107}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{12} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3 - 107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.11

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.11.1

Mutltipliziere $107$ mit $3$ .

$\sqrt{\frac{321 - 107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.11.2

Subtrahiere $107$ von $321$ .

$\sqrt{\frac{214}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $214$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.12.1

Faktorisiere $2$ aus $214$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (107)}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{107}{6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.13

Schreibe $\sqrt{\frac{107}{6}}$ als $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ um.

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{107}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{2}{\sqrt{107}}$

Schritt 8.3.14.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot 2$

Schritt 8.3.15

Kombiniere $\frac{1}{\sqrt{6}}$ und $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{6}}$

Schritt 8.3.16

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Schritt 8.3.17

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.17.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 8.3.17.2

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Schritt 8.3.17.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Schritt 8.3.17.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.17.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 8.3.17.6

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.17.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.17.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.17.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.17.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.17.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.17.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{1}}$

Schritt 8.3.17.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{6}}{6}$

Schritt 8.3.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.18.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{6}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{6})}{6}$

Schritt 8.3.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.18.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.3.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.3.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(- 1, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 10