Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 2 x + y - 1 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x + y - 1 = - x^{2}$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - 1 = - x^{2} - 2 x$

Schritt 1.1.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- x^{2} - 2 x + 1$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = - 2$

$c = 1$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.2.3.2.2

Schreibe $- 1 \cdot - 1$ als $- - 1$ um.

$d = - - 1$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$d = 1$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 1 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = 1 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 1 - \frac{4}{- 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $- 4$ .

$e = 1 - - 1$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 1 + 1$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$e = 2$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x + 1)}^{2} + 2$ ein.

$- {(x + 1)}^{2} + 2$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - {(x + 1)}^{2} + 2$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = - 1$

$k = 2$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 1, 2)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Schritt 5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 1, \frac{7}{4})$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 1$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{9}{4}$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- 1, 2)$

Brennpunkt: $(- 1, \frac{7}{4})$

Symmetrieachse: $x = - 1$

Leitlinie: $y = \frac{9}{4}$

Schritt 10