Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} + 8 y - x + 15 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y - x + 15 = - y^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Subtrahiere $8 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x + 15 = - y^{2} - 8 y$

Schritt 1.1.1.3

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - y^{2} - 8 y - 15$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - y^{2} - 8 y - 15$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - y^{2} - 8 y - 15$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{- 8 y}{- 1} + \frac{- 15}{- 1}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{- 8 y}{- 1} + \frac{- 15}{- 1}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{- 8 y}{- 1} + \frac{- 15}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{y^{2}}{1} + \frac{- 8 y}{- 1} + \frac{- 15}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$x = y^{2} + \frac{- 8 y}{- 1} + \frac{- 15}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 8 y}{- 1}$ .

$x = y^{2} - 1 \cdot (- 8 y) + \frac{- 15}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot (- 8 y)$ als $- (- 8 y)$ um.

$x = y^{2} - (- 8 y) + \frac{- 15}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = y^{2} + 8 y + \frac{- 15}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.6

Dividiere $- 15$ durch $- 1$ .

$x = y^{2} + 8 y + 15$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + 8 y + 15$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 8$

$c = 15$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{4}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$d = 4$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 15 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$e = 15 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 15 - \frac{64}{4}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $4$ .

$e = 15 - 1 \cdot 16$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$e = 15 - 16$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $16$ von $15$ .

$e = - 1$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + 4)}^{2} - 1$ ein.

${(y + 4)}^{2} - 1$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = {(y + 4)}^{2} - 1$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = - 1$

$k = - 4$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 1, - 4)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{3}{4}, - 4)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = - 4$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - \frac{5}{4}$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 1, - 4)$

Brennpunkt: $(- \frac{3}{4}, - 4)$

Symmetrieachse: $y = - 4$

Leitlinie: $x = - \frac{5}{4}$

Schritt 10