Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} = - 8 (y - 2)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $- 8 (y - 2) = x^{2}$ um.

$- 8 (y - 2) = x^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 8 (y - 2) = x^{2}$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 (y - 2) = x^{2}$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 (y - 2)}{- 8} = \frac{x^{2}}{- 8}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 (y - 2)}{- 8} = \frac{x^{2}}{- 8}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $y - 2$ durch $1$ .

$y - 2 = \frac{x^{2}}{- 8}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 2 = - \frac{x^{2}}{8}$

Schritt 1.1.3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x^{2}}{8} + 2$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{x^{2}}{8} + 2$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{8}$

$b = 0$

$c = 2$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{8}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 0 (- 1 \cdot 8)$

Schritt 1.2.3.2.3

Multipliziere $0 (- 1 \cdot 8)$ .

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$d = 0 \cdot - 8$

Schritt 1.2.3.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 8$ .

$d = 0$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 2 - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e = 2 - \frac{0}{4 (- \frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 2 - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{8}$ .

$e = 2 - \frac{0}{\frac{- 4}{8}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $8$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$e = 2 - \frac{0}{\frac{4 (- 1)}{8}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$e = 2 - \frac{0}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 2 - \frac{0}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 2 - \frac{0}{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = 2 - \frac{0}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 2 - (0 (- 1 \cdot 2))$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Multipliziere $- (0 (- 1 \cdot 2))$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 2 - (0 \cdot - 2)$

Schritt 1.2.4.2.1.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 2$ .

$e = 2 - 0$

Schritt 1.2.4.2.1.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = 2 + 0$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$e = 2$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{8} {(x + 0)}^{2} + 2$ ein.

$- \frac{1}{8} {(x + 0)}^{2} + 2$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{8} \cdot {(x + 0)}^{2} + 2$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{8}$

$h = 0$

$k = 2$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(0, 2)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Schritt 5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{8})}$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{8}}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 \cdot 2)$

Schritt 5.3.5

Multipliziere $- (1 \cdot 2)$ .

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Schritt 5.3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Schritt 5.3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(0, 0)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 0$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = 4$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(0, 2)$

Brennpunkt: $(0, 0)$

Symmetrieachse: $x = 0$

Leitlinie: $y = 4$

Schritt 10