Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{k = 5}^{15} (- 10) {(- 1)}^{k - 1}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{k}$ und $a_{k + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{- 10 {(- 1)}^{k + 1 - 1}}{- 10 {(- 1)}^{k - 1}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 10$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{- 10 {(- 1)}^{k + 1 - 1}}{- 10 {(- 1)}^{k - 1}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1 - 1}}{{(- 1)}^{k - 1}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 1)}^{k + 1 - 1}$ und ${(- 1)}^{k - 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere ${(- 1)}^{k - 1}$ aus ${(- 1)}^{k + 1 - 1}$ heraus.

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Schritt 2.2.2.2.4

Dividiere ${(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}$ durch $1$ .

$r = {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}$

Schritt 2.2.3

Addiere $k$ und $0$ .

$r = {(- 1)}^{k - (k - 1)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = {(- 1)}^{k - k - - 1}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r = {(- 1)}^{k - k + 1}$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere $k$ von $k$ .

$r = {(- 1)}^{0 + 1}$

Schritt 2.2.6

Addiere $0$ und $1$ .

$r = {(- 1)}^{1}$

Schritt 2.2.7

Berechne den Exponenten.

$r = - 1$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $5$ für $k$ in $(- 10) {(- 1)}^{k - 1}$ ein.

$a = - 10 {(- 1)}^{5 - 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$a = - 10 {(- 1)}^{4}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$a = - 10 \cdot 1$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$a = - 10$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$- 10 \frac{1 - {(- 1)}^{11}}{1 - - 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{11}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{11}$ .

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Schritt 5.1.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$- 10 \frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{11}}{1 - - 1}$

Schritt 5.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 10 \frac{1 + {(- 1)}^{1 + 11}}{1 - - 1}$

Schritt 5.1.1.2

Addiere $1$ und $11$ .

$- 10 \frac{1 + {(- 1)}^{12}}{1 - - 1}$

Schritt 5.1.2

Potenziere $- 1$ mit $12$ .

$- 10 \frac{1 + 1}{1 - - 1}$

Schritt 5.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$- 10 \frac{2}{1 - - 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 10 \frac{2}{1 + 1}$

Schritt 5.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$- 10 (\frac{2}{2})$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 10 (\frac{2}{2})$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- 10 \cdot 1$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$- 10$