Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{k = 1}^{8} - 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{k}$ und $a_{k + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}$ und ${(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere ${(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ aus ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}$ heraus.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Schritt 2.2.2.2.4

Dividiere ${(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}$ durch $1$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Schritt 2.2.3

Addiere $k$ und $0$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - (k - 1)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - k - - 1}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - k + 1}$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere $k$ von $k$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{0 + 1}$

Schritt 2.2.6

Addiere $0$ und $1$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{1}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$r = - \frac{3}{5}$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $k$ in $- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ ein.

$a = - 3 {(- \frac{3}{5})}^{1 - 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a = - 3 {(- \frac{3}{5})}^{0}$

Schritt 3.2.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{5}$ an.

$a = - 3 ({(- 1)}^{0} {(\frac{3}{5})}^{0})$

Schritt 3.2.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{5}$ an.

$a = - 3 ({(- 1)}^{0} \frac{3^{0}}{5^{0}})$

Schritt 3.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = - 3 (1 \frac{3^{0}}{5^{0}})$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $\frac{3^{0}}{5^{0}}$ mit $1$ .

$a = - 3 \frac{3^{0}}{5^{0}}$

Schritt 3.2.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = - 3 \frac{1}{5^{0}}$

Schritt 3.2.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = - 3 (\frac{1}{1})$

Schritt 3.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 3.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = - 3 (\frac{1}{1})$

Schritt 3.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$a = - 3 \cdot 1$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$a = - 3$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$- 3 \frac{1 - {(- \frac{3}{5})}^{8}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{5}$ an.

$- 3 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} {(\frac{3}{5})}^{8})}{1 - - \frac{3}{5}}$

Schritt 5.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{5}$ an.

$- 3 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} \frac{3^{8}}{5^{8}})}{1 - - \frac{3}{5}}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{8}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.2.1

Bewege ${(- 1)}^{8}$ .

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot - 1 \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{8}$ mit $- 1$ .

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Schritt 5.1.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Schritt 5.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8 + 1} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Schritt 5.1.2.3

Addiere $8$ und $1$ .

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Schritt 5.1.3

Potenziere $- 1$ mit $9$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Schritt 5.1.4

Potenziere $3$ mit $8$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{6561}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Schritt 5.1.5

Potenziere $5$ mit $8$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- 3 \frac{\frac{390625}{390625} - \frac{6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Schritt 5.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 3 \frac{\frac{390625 - 6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Schritt 5.1.8

Subtrahiere $6561$ von $390625$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere $- - \frac{3}{5}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 + 1 (\frac{3}{5})}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{3}{5}$ mit $1$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 + \frac{3}{5}}$

Schritt 5.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{5}{5} + \frac{3}{5}}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{5 + 3}{5}}$

Schritt 5.2.4

Addiere $5$ und $3$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{8}{5}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- 3 (\frac{384064}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $8$ aus $384064$ heraus.

$- 3 (\frac{8 (48008)}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 (\frac{8 \cdot 48008}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

Schritt 5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- 3 (\frac{48008}{390625} \cdot 5)$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $5$ aus $390625$ heraus.

$- 3 (\frac{48008}{5 (78125)} \cdot 5)$

Schritt 5.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 (\frac{48008}{5 \cdot 78125} \cdot 5)$

Schritt 5.5.3

Forme den Ausdruck um.

$- 3 (\frac{48008}{78125})$

Schritt 5.6

Multipliziere $- 3 (\frac{48008}{78125})$ .

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Schritt 5.6.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{48008}{78125}$ .

$\frac{- 3 \cdot 48008}{78125}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $48008$ .

$\frac{- 144024}{78125}$

Schritt 5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{144024}{78125}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{144024}{78125}$

Dezimalform:

$- 1.8435072$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 1 \frac{65899}{78125}$